Full Text

Одной из актуальных проблем геомеханики является задача, связанная с исследованием напряженного состояния вокруг одиночных выработок в горном или грунтовом массиве [1-6], однако особый интерес представляет задача распределения напряжений в точках контуров выработок, поскольку ее решение тесно связано с проблемой обеспечения их прочности. Формы поперечных сечений выработок могут быть получены при помощи функций комплексного переменного, осуществляющих отображения внутренности или внешности единичного круга на бесконечные односвязные области, границами которых являются семейства кривых, имитирующих отверстия различной конфигурации. Однако эффективное построение отображающих функций часто представляет собой довольно трудную задачу. Даже если эта функция хорошо известна, она, как правило, представляется сложным аналитическим выражением, которое приводит на практике к серьезным вычислительным трудностям. Поэтому приходится отказываться от точных выражений, заменяя их более удобными выражениями из числа простых и хорошо изученных функций. К таким функциям прежде всего нужно отнести полиномы. Это обстоятельство способствовало созданию весьма удобных методов построения отображающих функций [7-10]. Задачи, связанные с исследованием напряженного состояния на контурах выработок, формы поперечных сечений которых описывают при помощи построенных для этих целей отображающих функций, в рамках модели линейно-деформируемой среды могут быть решены методами плоской теории упругости [11-15], при этом весьма эффективным является использование аппарата комплексного анализа [13-20]. Следуя В.К. Цветкову [21], рассмотрим отображающую функцию вида (1) где - действительные числа, совершающие отображение внутренности единичного круга на бесконечную односвязную область, границей которой является семейство простых замкнутых кривых. При помощи функции (1) был решен ряд актуальных задач геомеханики [21-24]. Рассмотрим подземную горизонтальную выработку, геометрическое строение которой определяется при помощи отображающей функции (1). Предположим, что выработка находится на достаточно большой глубине, причем по ее контуру действует всестороннее равномерное давление заданной интенсивности. Это позволяет рассматривать выработку как подземное хранилище, например газообразных углеводородов [25]. В статье [26] приведена формула для определения напряжений в точках контуров одиночных подземных горизонтальных выработок заданной формы поперечного сечения, находящихся на фиксированной глубине при условии, что контуры подвержены всестороннему растягивающему равномерному давлению. В качестве примера применения полученных результатов рассмотрена задача о распределении напряжений на контуре выработки трапециевидной формы поперечного сечения; в работе [27] исследовано напряженное состояние на контуре выработки, конфигурация которой представляет собой свод с вертикальными стенками. При этом необходимо заметить, что на практике гораздо чаще встречаются выработки эллиптической и, в частности, круглой формы, поэтому задачи, связанные с изучением напряженного состояния в точках контуров выработок таких конфигураций, представляют определенный интерес. В работе [28] приведено решение задачи о напряженном состоянии на контурах выработок, поперечное сечение которых имеет форму эллипса с фиксированным значением большой полуоси. Однако этот тип выработок не исчерпывает всего класса выработок данной конфигурации. Целью данной статьи является исследование напряженного состояния в точках контуров выработок, поперечное сечение которых имеет вид эллипса любого размера и формы, находящихся на заданной глубине, под действием всестороннего растягивающего внутреннего равномерного давления при фиксированных значениях коэффициента бокового распора горной породы. Следуя [26], заметим, что формула, описывающая напряженное состояние в точках контура выработки, конфигурация которого определяется при помощи отображающей функции (1), находящейся на заданной глубине, при условии всестороннего равномерного давления, приложенного к контуру, имеет вид (2) где (3) , , (4) , (5) где объемный вес пород; коэффициент бокового распора; глубина заложения выработки, величина равномерного давления, приложенного к контуру отверстия, причем, согласно [4], будем полагать, что при контур выработки испытывает сжатие постоянной величины , а при растяжение той же интенсивности. Согласно [1] будем полагать, что (6) где наибольший линейный размер сечения выработки. Нахождение значений аргументов, в которых нормальные тангенциальные напряжения равны нулю, сводится к решению уравнения (7) где , , а определение значений аргументов, в которых нормальные тангенциальные напряжения принимают экстремальные значения, сводится к решению уравнений , (8) (9) где (10) Решением уравнения (8) на отрезке являются значения и уравнение (9) может быть решено на этом отрезке приближенно с необходимой для практики точностью. Полагая в отображающей функции (1) (11) получим (12) Функция (12) осуществляет конформное отображение внутренности единичного круга на бесконечную плоскость с эллиптическим отверстием, причем окружности соответствует эллипс с центром в начале координат и полуосями (13) Задавая значения параметров и , можно получить эллипс любого размера и формы. Если , то эллипс обращается в окружность. В предельном случае эллипс обращается в отрезок оси длины заключенный между точками при этом область обращается в бесконечную плоскость с прямолинейной щелью. Подставляя значения коэффициентов (11) в формулы (3)-(5), а затем в формулу (2), получим (14) Тогда уравнение для нахождения аргументов, в которых нормальные тангенциальные напряжения принимают нулевые значения, имеет вид (15) где , . Подстановкой значений коэффициентов (11) в формулы (3)-(5) с учетом соотношений (10) убеждаемся, что уравнение (9) принимает вид откуда следует, что экстремальные значения нормальных тангенциальных напряжений на отрезке достигаются в точках (16) причем, как следует из (14), Замечая, что (17) (18) вычислим разность значений тангенциальных нормальных напряжений в этих точках. Имеем (19) Соотношения (17)-(19) будут применены для определения диапазонов интенсивности растягивающего равномерного давления, при которых на контурах выработок действуют сжимающие или растягивающие напряжения при заданных значениях глубин заложения выработок, коэффициента бокового распора горной породы для любой формы эллипса, определяемой значениями . При решении задач будем использовать два значения величины коэффициента бокового распора: и . Первое из них соответствует величине коэффициента Пуассона, которая в среднем для горных пород равна [1], а второе соответствует величине коэффициента Пуассона и предполагает гидростатическое распределение напряжений в горном массиве, принимаемое при определении напряжений на достаточно больших глубинах [3]. Будем анализировать распределение напряжений на контурах выработок при изменении глубин их заложения и интенсивности значений растягивающего равномерного давления , для чего примем: т/м2, т/м2, т/м2. (20) (21) Рассмотрим семейство эллипсов, полагая (22) Согласно (13) нетрудно видеть, что при возрастании значений параметра величина большой полуоси эллипса будет уменьшаться, а малой - увеличиваться, принимая при равные значения (рис. 1). Рассматривая значения (22), нетрудно видеть, что большая полуось эллипса, являясь его наибольшим линейным размером, будет изменяться от до . Пусть Тогда, применяя формулы (13) и (22), получим значения максимальных линейных размеров эллипсов: (23) а б в Рис. 1. Формы эллипсов при: а - б - в - Fig. 1. Shapes of ellipses at а - б - в - Тогда, согласно (6) и (23), соответственно положим (24) Заметим, что наибольшее значение глубины заложения выработки, принимаемое в данной работе, соответствует значению и равно Поэтому проведем исследование напряженного состояния в точках выработок, полагая в качестве глубин их заложения как значения (24), так и значение при котором будет выполняться условие (6) для каждого из значений (22). Рассмотрим в качестве вмещающей породы гранит с объемным весом т/м3. Тогда для значений (24) имеем т/м2, т/м2, т/м2; (25) для значения находим т/м2. Теперь, используя приведенные выше формулы, рассмотрим задачу о распределении напряжений на контурах, имеющих поперечное сечение в виде эллипса с полуосями, определяемыми по формуле (13). Случай . Подставляя в уравнение (15) значения (22) и (25) при заданных значениях интенсивности равномерного давления (20) и принятой величине коэффициента бокового распора, получим значения аргументов, при которых нормальные тангенциальные напряжения равны нулю. Результаты вычислений представлены в табл. 1. Таблица 1 Значения углов при различных значениях интенсивности давления Table 1 Angle values at different values of pressure intensity , т/м2 Проведенные вычисления позволяют выделить участки, на которых при заданных значениях равномерного давления (20) и параметра (22) действуют растягивающие напряжения, а именно: при и т/м2 имеем ; и т/м2 имеем ; и т/м2 имеем . при и т/м2 имеем ; и т/м2 имеем ; и т/м2 имеем ; при, и т/м2 имеем ; и т/м2 имеем ; и т/м2 имеем . Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработки эллиптической формы сечения при значении равномерного давления т/м2 и величинах в случае приведены на рис. 2. а б в Рис. 2. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений при: а - б - в - Fig. 2. Plots of tangential normal stresses at а - б - в - Теперь определим величины интенсивности растягивающего давления, при которых в зависимости от значений параметра на контурах выработок возникают сжимающие и растягивающие напряжения. Пусть . Тогда, полагая и т/м3, после подстановки в формулу (19) имеем (26) Нетрудно видеть, что полученная разность положительна при значениях давления, превышающих т/м2; при этом функция (14) дает минимум в точке . Определим величину интенсивности давления, при которой на контуре выработки возникают лишь сжимающие напряжения. Применяя формулу (18), получаем (27) Поскольку выражение (27) принимает положительные значения при величинах давления, меньших т/м2, то интервал, при котором в точках контура действуют сжимающие напряжения при условии, что минимум функции (14) достигается в точке имеет вид т/м2. (28) Рассмотрим значения давления, меньшие т/м2. В этом случае разность (26) будет отрицательна. Значит, минимум функции (14) достигается в точках и Тогда по формуле (17) имеем (29) откуда следует, что сжимающие напряжения действуют на контуре при значении давления, большем т/м2. Объединяя полученный интервал с (28), находим интервал, при котором в точках контура действуют сжимающие напряжения т/м2. (30) Теперь изучим характер напряжений на интервалах, составляющих дополнение к интервалу (30). Пусть нас интересуют значения давления, при которых на контуре выработки действуют напряжения обоих знаков. Это возможно тогда и только тогда, когда выполняется неравенство (31) Подставляя данные задачи в неравенство (31) и решая его, получим и т/м2. Итак, проведенный анализ показывает, что при значениях интенсивности давления (30) в точках рассматриваемой выработки действует сжимающее напряжение; в противном случае в точках контура действуют как сжимающие, так и растягивающие напряжения. Участков выработки, на которых действуют лишь растягивающие напряжения при рассматриваемом значении параметра нет. Для значений и аналогичное исследование дает следующие результаты: - при и значениях давления, изменяющегося в диапазоне т/м2, в точках контура действуют растягивающие напряжения; при остальных значениях интенсивности давления в них будут действовать как сжимающие, так и растягивающие напряжения; - при и величинах давления, больших т/м2, в точках контура действуют растягивающие напряжения; при остальных значениях давления на контуре действуют сжимающие и растягивающие напряжения. Если , т.е. в случае круглой выработки при значениях давления, больших т/м2, в точках контура действуют растягивающие напряжения; в противном случае в точках контура действуют сжимающие и растягивающие напряжения. Теперь положим для всех значений (22) глубину заложения выработок, равную Результаты вычислений аргументов, при которых нормальные тангенциальные напряжения обращаются в нуль, представлены в табл. 2. Используя данные, приведенные в табл. 2, выделим участки, на которых при заданных значениях равномерного давления (20) и параметра (22) действуют растягивающие напряжения. Итак, при и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем при и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем при, и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем . Таблица 2 Значения углов при различных значениях интенсивности давления Table 2 Angle values at different values of pressure intensity т/м2 Теперь определим величины интенсивности растягивающего давления, при которых в зависимости от значений параметра на контурах выработок возникают сжимающие и растягивающие напряжения. Полагая и т/м3, получаем: - при в диапазоне т/м2 действуют сжимающие напряжения; при остальных значениях давления на контуре действуют как сжимающие, так и растягивающие напряжения; - при в диапазоне т/м2 действуют растягивающие напряжения; при остальных значениях давления на контуре действуют как сжимающие, так и растягивающие напряжения; - при полагая значения давления т/м2, на контуре действуют растягивающие напряжения; при остальных значениях давления на контуре действуют напряжения обоих знаков; - при и значении интенсивности давления т/м2 на контуре действуют лишь растягивающие напряжения; при других значениях давления на контуре возникают как сжимающие, так и растягивающие напряжения. Теперь допустим, что выработки, форма которых определяется значениями (22), находятся на заданных глубинах (21). Вычислим, используя уравнение (15), значения аргументов, при которых нормальные тангенциальные напряжения принимают нулевые значения, полагая величину интенсивности растягивающего давления т/м2. Результаты проведенных вычислений приведены в табл. 3. Таблица 3 Значения углов при различных значениях глубины заложения Table 3 Angle values at different values depths H, м Выделим участки контуров, на которых при заданных значениях глубин заложения (21) и параметра (22) действуют растягивающие напряжения. Имеем: и имеем и имеем и имеем и имеем и имеем и имеем и имеем и имеем и имеем На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Проведенное исследование показывает, что при увеличении глубин заложения выработок в пределах одних и тех же значений параметра существенной перестройки эпюр нормальных тангенциальных напряжений не происходит. В качестве примера построим эпюры этих напряжений при глубине заложения выработки и значениях (22). Результат приведен на рис. 3. а б в Рис. 3. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений при и а - б - в - Fig. 3. Plots of tangential normal stresses at and а - б - в - Случай . Подстановкой данного значения коэффициента бокового распора в формулы (14), (15), (17)-(19), находим (32) , (33) (34) (35) (36) Приведем результаты исследования, проведенного при помощи формул (32)-(36), для двух рассмотренных выше случаев глубин заложения выработок. С учетом значений глубин заложения (24) имеем: - при и интенсивности растягивающего давления т/м2 на контуре действуют лишь сжимающие напряжения; при остальных значениях давления на нем действуют сжимающие и растягивающие напряжения; - при и т/м2 в точках контура действуют лишь сжимающие напряжения; при остальных значениях давления в них действуют как сжимающие, так и растягивающие напряжения; - при и т/м2 на контуре действуют сжимающие напряжения; при остальных значениях давления на нем действуют напряжения обеих знаков; - при и значении интенсивности растягивающего давления т/м2 на контуре действуют лишь сжимающие напряжения; при других значениях давления на нем возникают растягивающие напряжения. Теперь приведем результаты исследования, принимая глубину заложения равной Итак, - при и т/м2 в точках контура действуют лишь сжимающие напряжения; при остальных значениях давления в них действуют как сжимающие, так и растягивающие напряжения; - при и т/м2 на контуре действуют лишь сжимающие напряжения; при остальных значениях давления на нем действуют как сжимающие, так и растягивающие напряжения; - при и т/м2 на контуре действуют сжимающие напряжения; при остальных значениях давления на нем действуют напряжения обеих знаков; - при и значении интенсивности растягивающего давления т/м2 в точках контура действуют лишь сжимающие напряжения; при других значениях давления в них возникают растягивающие напряжения. Теперь допустим, что выработки, форма которых определяется значениями (22), находятся на заданных глубинах (21), при интенсивности растягивающего давления в точках контуров выработок, равного т/м2. Тогда нетрудно убедиться в том, что ни при одном из значений параметра (22) уравнение (15) корней не имеет. При этом во всех точках контуров при принятых глубинах заложения и величине интенсивности давления будут сжимающие напряжения. Выводы 1. В работе приведены формулы, на основании которых рассмотрена задача о распределении напряжений в точках контуров, поперечное сечение которых имеет форму эллипса заданного размера и формы. 2. При изменении величины растягивающего равномерного давления, приложенного в точках контуров выработок эллиптической формы поперечного сечения, выделены участки контуров, на которых действуют растягивающие и сжимающие напряжения при заданных значениях параметров эллипса, величины интенсивности растягивающего равномерного давления и коэффициента бокового распора горной породы. 3. Проведен анализ напряженного состояния, позволивший определить диапазоны интенсивности всестороннего растягивающего равномерного давления, при которых в зависимости от глубин заложения выработок, параметров эллипса и значений коэффициента бокового распора в точках их контуров действуют сжимающие и (или) растягивающие напряжения. Финансирование. Исследование не имело спонсорской поддержки. Конфликт интресов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. Вклад авторов. Все авторы сделали равный вклад в подготовку публикации.

About the authors

A. B. Ponomarev

Saint Petersburg Mining University; Perm National Research Polytechnic University

O. A. Bogomolova

Volgograd State Technical University

A. N. Ushakov

Volgograd State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 31

PDF (Russian) - 13

Refbacks

• There are currently no refbacks.