Full Text

Хорошо известно, что одной из важнейших задач геомеханики является задача об определении напряженного состояния горных пород вокруг одиночных выработок [1-4] в упругом изотропном массиве, при этом изучение вопросов, связанных с распределением напряжений в точках контуров выработок, представляет особый интерес, поскольку решение этой проблемы тесно связано с проблемой их прочности. Конфигурации поперечных сечений выработок при решении плоской задачи можно получить при помощи функций комплексного переменного, осуществляющих отображение одной из канонических областей (внутренность или внешность единичного круга либо верхняя или нижняя полуплоскость) на исследуемую область. Однако построение таких функций является довольно сложной задачей, поскольку, с одной стороны, отображения, осуществляемые ими, должны быть конформными, с другой - эти функции должны иметь достаточно простой, удобный для вычислений вид, т.е. состоять из хорошо изученных функций. Этому требованию, безусловно, соответствуют полиномы. Вопросам построения отображающих функций посвящена обширная литература [5-10]. Целью данной работы является анализ напряженного состояния в точках контуров подземных горных выработок заданных размеров и форм поперечного сечения при условии действия на них равномерного всестороннего давления. В данной работе в качестве отображающей функции используется функция комплексного переменного, предложенная В.К. Цветковым [11], представляющая собой полином третьей степени, при помощи которой автором работы решен ряд актуальных задач горной механики [12]. В работах [13, 14] в связи с задачей об определении допустимой глубины заложения подземной горизонтальной выработки отображающая функция В.К. Цветкова была детально исследована авторами данной статьи. С использованием полученных соотношений и методики построения контуров, имеющих различные формы поперечного сечения и наперед заданные размеры, нами построены и приведены ниже поперечные сечения выработок, имеющих форму трапеции, треугольника, прямоугольника, ромба и эллипса с размерами, которые могут быть заранее заданы. Предположим, что данные подземные выработки расположены на достаточно большой глубине Н, причем по контуру выработок действует всестороннее равномерное давление интенсивности p. Это позволяет рассматривать горную выработку как подземное хранилище, например, углеводородов, а соответствующую задачу сформулировать как задачу о распределении напряжений на контуре подземных хранилищ произвольного сечения. Рассмотрим бесконечную односвязную область, границей которой является семейство простых замкнутых кривых. Следуя [11, 12], функцию, отображающую эту область на внутренность единичного круга, примем в виде (1) где A, B, C, D - действительные числа. Полагая в выражении (1) и отделяя вещественную часть от мнимой, получим уравнения контуров отверстий в параметрическом виде: (2) где Основываясь на методике построения контуров сечений различных конфигураций и приведенных в работах [13, 14] соотношениях, вычислим коэффициенты отображающей функции (1), совершающей конформные отображения внутренности единичного круга на бесконечные односвязные области, границами которых являются кривые заданных размеров и конфигураций. Примеры отверстий, для которых будут рассмотрены задачи, приведены на рис. 1. Заметим, что все отверстия, кроме астроидального, имеют заданные размеры . Рассмотрим подземную выработку неограниченной длины и сечения, форма которого определяется при помощи отображающей функции (1) и задается параметрическими уравнениями (2). Пусть контур этой выработки подвержен равномерному давлению величины p. Тогда напряженное состояние в горном массиве, ослабленном выработкой, имеет вид где p - постоянная величина, причем будем полагать [1], что при p > 0 контур выработки испытывает сжатие постоянной величины p, а при p < 0 - растяжение той же интенсивности. Формула, описывающая напряженное состояние на контуре выработки сечения, форма которого определяется при помощи отображающей функции (1), при условии равномерного давления заданной интенсивности р в точках контура имеет вид [15] (3) где (4) ; ; (5) ,, ,,, (6) где γ - объемный вес пород; μ - коэффициент бокового распора; Н - глубина заложения выработки; р - величина равномерного давления, приложенного к контуру отверстия. Трапециевидное отверстие: Треугольное отверстие: Прямоугольное отверстие: Ромбовидное отверстие: Астроидальное отверстие: , Эллиптическое отверстие: Рис. 1. Формы поперечного сечения выработок (отверстий) Fig. 1. The cross-sectional shape of the production (holes) Формула (3) получена в предположении, что глубина заложения выработки Н - существенна [14]. Следуя [1], будем полагать, что (7) где - наибольший линейный размер сечения выработки. В работе [11] была приведена формула тангенциального нормального напряжения (3), использованная автором для определения при заданных напряжениях на контурах выработок, возникающих от действия собственного веса пород, форм поперечных сечений подземных и открытых выработок в зависимости от коэффициента бокового распора ненарушенного однородного, линейно деформируемого горного массива. В статье [14] эта формула была использована для решения задачи о глубине заложения подземной горизонтальной выработки. Нахождение нулей тангенциального нормального напряжения сводится к решению уравнения (8) где , . С учетом результатов работы [15] заметим, что экстремальные значения функции (3) могут быть получены из уравнений: (9) где (10) Теперь, используя приведенные выше соотношения, рассмотрим задачу о распределении напряжений на контурах, изображенных на рис. 1 и имитирующих горизонтальные подземные горные выработки соответствующих форм сечений. Задача. Исследовать напряженное состояние на границе подземной горизонтальной выработки, имеющей наперед заданную форму, в зависимости от величины численного значения давления, действующего по этой границе, при условии, что величина коэффициента бокового распора заранее задана. Рассмотрим в качестве вмещающей породы гранит с объемным весом т/м3 и пределами прочности при растяжении МПа и сжатии МПа. Поскольку наибольший линейный размер трапециевидной выработки - ее ширина, равная 5 м, то, с учетом (7), положим м. Тогда кг/м2. При решении задачи используем два значения величины коэффициента бокового распора: и . Первое из них соответствует величине коэффициента Пуассона, которая в среднем для горных пород составляет [1]. Второе соответствует величине коэффициента Пуассона и предполагает гидростатическое распределение напряжений в горном массиве, которое принимается при определении напряжений на достаточно больших глубинах [3]. 1. Выработка трапециевидного сечения. Рассмотрим выработку трапециевидного сечения с коэффициентами отображающей функции (1), равными , (11) изображенную на рис. 1, а. Заметим, что коэффициенты (5) не зависят от коэффициента бокового распора и для обоих случаев составляют: (12) Случай На основании формул (4) получаем (13) Тогда уравнение (8) принимает вид (14) Для нахождения нулей необходимо задать значения давления р. Из постановки задачи следует, что необходимо выбирать значения р < 0. В качестве значений напряжений, приложенных к контуру выработки, положим: (15) Прямые вычисления по формуле (14) с учетом (15) дают следующие значения нулей: при при при Перейдем к вычислению экстремальных значений тангенциальных нормальных напряжений. По формулам (9) и (10) с учетом (12), (13), получим: при имеем Присоединяя к полученным значениям и имеем: Тогда (16) При имеем Пусть и Тогда Значит, (17) И наконец, при имеем Дополняя значения аргумента значениями и имеем: Отсюда (18) Проведенные вычисления позволяют выделить участки, на которых при заданных значениях равномерного давления действуют растягивающие напряжения, т.е.: при имеем при имеем при имеем На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработки трапециевидной формы сечения при заданных значениях равномерного давления и в случае приведены на рис. 2. Рис. 2. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде трапеции: а - при б - в - Fig. 2. Diagrams of tangential normal stresses on the circuit in the form of a trapezoid with: а - b - c - Опираясь на результаты работы [10] и значения (16)-(18), исследуем прочность рассматриваемой выработки при данных значениях (15) давления. Для этого необходимо выполнение следующих неравенств: (19) Проверка показывает, что при оба неравенства (19) выполняются; при и выполняется лишь второе из неравенств (19). Таким образом, при давлении данная выработка трапециевидной формы сечения является прочной, а при остальных двух значениях величины давления выработка теряет прочность, поскольку растягивающее напряжение, прикладываемое к точкам контура выработки, превышает предельно допустимое значение. Случай Формулы (4) дают (20) Тогда уравнение (8) принимает вид (21) Прямые вычисления по формуле (21) с учетом (15) дают следующие значения нулей: при нулей нет; при при Аналогично предыдущему случаю, вычислим экстремальные значения тангенциальных нормальных напряжений. При имеем Пусть и Тогда Тогда (22) При имеем Пусть и Тогда (23) И наконец, при имеем Пусть и Тогда (24) Как и для предыдущего случая, выделим участки, на которых при заданных значениях равномерного давления действуют растягивающие напряжения. Имеем: при на интервале действуют только сжимающие напряжения; при при На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработки трапециевидной формы сечения при заданных значениях равномерного давления и в случае приведены на рис. 3. Рис. 3. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде трапеции: а - при б - в - Fig. 3. Diagrams of tangential normal stresses on the circuit in the form of a trapezoid with: а - b - c - Для определения прочности выработки воспользуемся неравенствами (19). Проверка справедливости этих неравенств с учетом значений (22)-(24) показывает, что не выполняется первое из неравенств (19) при что означает потерю прочности трапециевидной выработки при данном значении интенсивности растяжения. Приведем результаты решения задачи для выработок форм сечений, представленных на рис. 1, б-г. 2. Выработка треугольного сечения. Рассмотрим выработку треугольного сечения с коэффициентами отображающей функции (1) в виде (25) изображенной на рис. 1, б. Случай Растягивающие напряжения действуют на следующих участках: при имеем при имеем при имеем . На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработок с заданным отверстием треугольного сечения при приведены на рис. 4. Рис. 4. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде треугольника: а - при б - в - Fig. 4. Diagrams of tangential normal stresses on the circuit in the form of a triangle with: а - b - c - Случай Растягивающие напряжения действуют на следующих участках: при имеем ; при имеем На остальных участках интервала , а также на всем интервале при действуют сжимающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработок с заданным отверстием треугольного сечения при приведены на рис. 5. 3. Выработка прямоугольного сечения. Рассмотрим выработку прямоугольного сечения с коэффициентами отображающей функции (1) в виде (26) изображенную на рис. 1, в. Случай Растягивающие напряжения действуют на следующих участках: при имеем при имеем при имеем На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Рис. 5. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде треугольника: а - при б - в - Fig. 5. Diagrams of tangential normal stresses on the circuit in the form of a triangle with: а - b - c - Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработок с заданной выработкой прямоугольного сечения при приведены на рис. 6. Рис. 6. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде прямоугольника: а - при б - в - Fig. 6. Plots of tangential normal stresses on the contour in the form of a rectangle with: а - b - c - Случай Растягивающие напряжения действуют на следующих участках: при имеем при имеем На остальных участках интервала а также на всем интервале при действуют сжимающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработок с заданным прямоугольным отверстием при приведены на рис. 7. Рис. 7. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде прямоугольника: а - при б - в - Fig. 7. Plots of tangential normal stresses on the contour in the form of a rectangle with: а - b - c - 4. Выработка ромбовидного сечения. Рассмотрим выработку ромбовидного сечения с коэффициентами отображающей функции (1) (27) изображенную на рис. 1, г. Случай Тогда имеем: при имеем при имеем при имеем На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработок с заданным ромбовидным отверстием при приведены на рис. 8. Рис. 8. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде ромба: а - при б - в - Fig. 8. Diagrams of tangential normal stresses on the circuit in the form of a rhombus with: а - b - c - Случай Тогда: при имеем при имеем На остальных участках интервала а также на всем интервале при действуют сжимающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработки с ромбовидным отверстием при приведены на рис. 9. Рис. 9. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде ромба: а - при б - в - Fig. 9. Diagrams of tangential normal stresses on the circuit in the form of a rhombus with: а - b - c - 5. Выработка астроидального сечения. Рассмотрим выработку астроидального сечения с коэффициентами отображающей функции (1) вида (28) изображенную на рис. 1, д. Подставляя коэффициенты (28) в соотношения (4) и (5), получим формулу тангенциальных нормальных напряжений (3) в виде (29) при любых значениях коэффициента Пуассона. Следовательно, значения тангенциального нормального напряжения во всех точках контура постоянны и равны с точностью до знака интенсивности величины равномерного давления, приложенного в точках контура выработки, а эпюры тангенциальных нормальных напряжений при любых, в том числе и выбранных нами значениях давления и представляют собой прямые, параллельные оси абсцисс и, например, при дают значения сжимающих напряжений на контуре выработки. Заметим, что на контурах выработок астроидальных сечений, гомотетичных данному, величина тангенциальных нормальных напряжений будет также выражаться формулой (29). Завершим рассмотрение примеров случаем выработки эллиптического сечения, вычислив не только нули тангенциального нормального напряжения, но и, как в случае выработки трапециевидного сечения, экстремальные значения в точках выработки. 6. Выработка эллиптического сечения. Рассмотрим выработку эллиптического сечения с коэффициентами отображающей функции (1) (30) изображенную на рис. 1, е. Тогда, согласно (5), имеем (31) Случай На основании формул (4) получаем (32) Тогда уравнение (8) принимает вид (33) Прямые вычисления по формуле (33) с учетом (15) дают следующие значения нулей: при при при нулей нет. Вычислим экстремальные значения тангенциального нормального напряжения. Уравнения (9), с учетом (31), (32), дают значения причем заметим, что Тогда имеем: при при при Приведенные вычисления показывают, что при тангенциальные нормальные напряжения достигают минимального значения, а при - максимального. Тогда, как нетрудно видеть, имеем: при при На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. При на всем интервале действуют растягивающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для данной выработки с эллиптическим отверстием приведены на рис. 10. Случай Формулы (4) дают (34) Тогда уравнение (8) принимает вид (35) Рис. 10. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде астроиды: а - при б - в - Fig. 10. Diagrams of tangential normal stresses on the circuit in the form of an astroid with: а - b - c - Прямые вычисления по формуле (35) с учетом (15) показывают, что ни при одном из значений уравнение (8) корней не имеет. Уравнения (9) дают те же значения аргументов - причем, как и в предыдущем случае, Тогда имеем: при при при Заметим, что тангенциальные нормальные напряжения достигают минимального и максимального значений при тех же значениях аргументов. Таким образом, при и при на всем интервале действуют сжимающие напряжения, а при на всем интервале действуют растягивающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработки с эллиптическим отверстием приведены на рис. 11. Рис. 11. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде астроиды: а - при б - в - Fig. 11. Diagrams of tangential normal stresses on the circuit in the form of an astroid with: а - b - c - Проверка показывает, что при всех трех значениях напряжений на контурах и и оба неравенства (19) выполняются. Таким образом, рассматриваемая выработка эллиптического сечения является прочной при данных коэффициентах бокового распора. И в заключение рассмотрим случай выработки круглого сечения, выделив его, как часто встречающийся на практике, в отдельный случай. 7. Выработка круглого сечения. Рассмотрим выработку круглого сечения с коэффициентами отображающей функции (1) . (36) Тогда сечением выработки является окружность диаметра 5. Как и выше, примем и Согласно (5) имеем (37) Случай На основании формул (4) получаем . (38) Тогда уравнение (8) принимает вид (39) Прямые вычисления по формуле (39) с учетом (15) дают следующие значения нулей: при при при нулей нет. Уравнения (9) дают значения Тогда имеем: при при при Тогда имеем: при при На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. При на всем интервале действуют растягивающие напряжения. Заметим, что ни в формулу для отыскания нулевых значений тангенциального нормального напряжения (8), ни в формулу для определения величины тангенциальных нормальных напряжений (9) для сечения в виде окружности не входит величина ее радиуса. Следовательно, для круглой выработки произвольного радиуса R формулы (8) и (9) будут давать одинаковые значения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработки круглого сечения при приведены на рис. 12. Рис. 12. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде окружности: а - при б - в - Fig. 12. Plots of tangential normal stresses on the circuit in the form of a circle with: а - b - c - Выполненные вычисления показывают, что при напряжения превышают величину предела прочности породы при растяжении, что означает потерю прочности рассматриваемой выработки. Случай Формулы (4) дают (40) Тогда уравнение (8) принимает вид (41) Из формулы (41) следует, что ни при каком значении напряжения тангенциальное нормальное напряжение нулей не имеет. Согласно (9) тангенциальное нормальное напряжение точек экстремума не имеет. С учетом (37) нетрудно получить выражение (42) Подставляя в (42) данные (15), получим: при при при Таким образом, при данном коэффициенте бокового давления значения тангенциального нормального напряжения во всех точках контура выработки одинаковы, причем в первых двух случаях в каждой точке контура действуют только сжимающие напряжения, а в третьем случае - только растягивающие напряжения. Из формулы (42) следует, что при контур выработки будет свободен от напряжений. В рассматриваемом примере это равенство достигается при Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработки с круговым отверстием при приведены на рис. 13. Рис. 13. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде астроиды: а - при б - в - Fig. 13. Plots of tangential normal stresses on the circuit in the form of a circle with: а - b - c - Выводы 1. Приведенные в работе формулы для вычисления величины тангенциальных нормальных напряжений, нахождения их нулей и экстремальных значений на контурах выработок различной формы позволяют проводить исследование напряженного состояния выработок, находящихся на заданной глубине заложения, испытывающих равномерное внутреннее всестороннее давление при заданных физико-механических свойствах горной породы. 2. На примере выработок трапециевидной и эллиптической форм сечений при заданном типе горной породы и глубине заложения выработки вычислены значения величины равномерного растягивающего давления, распределенного по контуру выработок, при котором горные породы на поверхности выработок теряют прочность при растяжении. 3. Если выработки имеют поперечное сечение в виде астроиды и эллипса (в частности, круга) и величина коэффициента бокового распора равна 1, то при величинах интенсивности равномерного давления, превышающего некоторое значение, зависящее от объемного веса породы и глубины заложения выработки, на их контурах могут возникать тривиальные распределения напряжений.

About the authors

A. N Bogomolov

Volgograd State Technical University

O. A Bogomolova

Volgograd State Technical University

A. N Ushakov

Volgograd State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 623

PDF (Russian) - 422

Refbacks

• There are currently no refbacks.