# Abstract

Currently the method of calculating the horizontal active soil pressure according to the limit balance theory (Coulomb’s wedge theory) in the assumption of the flat sliding plane is widely used in engineering design. In case of irregular loading distribution and non-horizontal embankment surfaces, the use of the Coulomb’s method leads to the results that can’t ensure the limit soil stress state behind the back facets of the retaining walls. The article describes the engineering method of calculating the active soil pressure on vertical retaining walls which is based on Moor-Coulomb equation considering internal friction and cohesion of soil. The horizontal active pressure is obtained as a primary tension depending on the vertical pressure behind the back facets of the retaining wall. It is assumed that the vertical pressure distribution depends on the shape of the computational domain and acting loads; and it does not change when the soil shifts from the pre-limited to the limited state. Thus, in order to determine the vertical pressures, it becomes possible to use the solutions of the theory of elasticity, FEM and empirically verified approximated techniques, which examples of are given in the article. On the contact facet the vertical pressures of the one-sided force system are doubled and the tangent pressures are equal to zero in accordance with the “method of images” which consists in substituting the embankment behind the retaining wall by the symmetrical computational domain. The suggested calculation method is not related to using reference data which are suitable for a limited number of problems with non-horizontal forms of embankment surfaces. The obtained solutions (which remain approximated) are based on strict equations of soil mechanics theory.

# Full Text

1. Классические решения В научной, учебной, нормативно-справочной литературе, проектной практике описаны и применяются два способа решения плоской (плоская деформация) задачи о горизонтальном активном давлении грунта на подпорные стенки. Первый способ расчета, используемый наиболее широко, основан на следующих положениях: 1. В качестве физического уравнения расчета принята запись закона Кулона, выражающая предельное равновесие на поверхности скольжения, в следующем виде Т = Рtgφ + clt, (1) где Т, Р - касательная и нормальная составляющие сил, действующих на поверхности скольжения (или ее участке) длиной l шириной t (в условиях плоской деформации t = 1 м); φ, с - прочностные характеристики грунта: угол внутреннего трения и удельное сцепление. 2. Для реализации активного давления необходимо, чтобы подпорная стенка имела возможность небольшого смещения (горизонтального или поворота) в сторону своей передней грани. 3. Разрешающие уравнения получены по условию равновесия призмы обрушения из несвязного грунта (с = 0) с плоской поверхностью скольжения на границе с неподвижной частью грунтового массива (рис. 1, а, б) при отсутствии трения грунта на задней грани подпорной стенки. 4. Угол наклона ω поверхности скольжения к вертикали определяется по условию максимального значения равнодействующей активного давления Еа в уравнении равновесия сил в соответствии со схемой на рис. 1, а, б. В версии рассматриваемой задачи, когда засыпка ограничена горизонтальной гранью без нагрузки на поверхности, при помощи соотношения получено а б Рис. 1. Схема к определению равнодействующей Еа, распределения активного давления ра (а) и графическая форма равновесия сил G = ½γh2tgω, Р, F = Рtgφ, Еа (б) Fig. 1. Scheme determining summary force Еа, active pressure distribution ра (а) and forces equilibrium graphic form G = ½γh2tgω, Р, F = Рtgφ, Еа (b) На основании изложенного выше получены следующие известные выражения: (2) (3) где ра - активное давление, распределенное по линейному закону в зависимости от координаты z на задней грани подпорной стенки; hэкв - условный слой грунта, заменяющий как эквивалентный по весу нагрузку q, равномерно распределенную на поверхности засыпки, hэкв = q/γ. 5. Для связных грунтов влияние удельного сцепления на активное давление грунта учтено путем условной замены всесторонним внешним давлением (давлением связности) в соответствии со схемой на рис. 2 [1, с. 402-403]. Давление рс на верхней грани складывается с весом грунта засыпки, на задней грани алгебраически складывается с активным давлением ра по формуле (3) при hэкв = 0: Последнее выражение после тригонометрических преобразований приводится к канонической записи: (4) а б Рис. 2. Схемы к определению давления связных грунтов на подпорную стенку: а - расчетная схема с заменой удельного сцепления всесторонним «давлением связности»; б - распределение активного давления грунта на подпорные стенки: 1 - при φ ≠ 0, с = 0; 2 - при φ ≠ 0, с ≠ 0 Fig. 2. Schemes determining the pressure of cohesive soils on the retaining wall: а is the calculation scheme with the substitution of the specific cohesion by “cohesion pressure”; b is the distribution of active soil pressure on retaining walls: 1 shows the case if φ ≠ 0, с = 0; 2 shows the case if φ ≠ 0, с ≠ 0 Равнодействующая активного давления при с ≠ 0, q = 0 (5) где - часть высоты стенки, свободная от активного давления, удерживаемая за счет сцепления, Второй способ расчета предполагает отказ от допущения о призме обрушения с плоскостью скольжения внутри грунтового массива. Давления ра и равнодействующая Еа определяются без поиска максимума как единственные и одновременно тождественные значениям по формулам (2)-(5). При отсутствии касательных напряжений в точке М (рис. 3) давление ра является одним из главных напряжений (-σ1), другое главное напряжение (-σ2) - вертикальное давление рv за контактной поверхностью: при свободной горизонтальной верхней грани засыпки рv = γz, при равномерно распределенной нагрузке на верхней грани засыпки рv = γz + q = γ(z + hэкв). Рис. 3. Предельное напряженное состояние грунта в точке М на задней грани подпорной стенки Fig. 3. The limit state of soil tension at point M at the back facet of the retaining wall Вместо использования закона Кулона предполагается, что грунт засыпки за задней гранью подпорной стенки находится в предельном напряженном состоянии в соответствии с уравнением Мора-Кулона в следующей записи: (6) Решая уравнение (6) относительно ра, получаем выражение, тождественное (4), с рv вместо γz + q = γ(z + hэкв): (7) Оба способа расчета горизонтального давления на подпорные стенки являются тождественными по результатам только при горизонтальной поверхности засыпки, отсутствии или равномерном распределении нагрузки q. Положение о тождественности результатов расчетов не относится к другим (рассматриваемым ниже) формам засыпок и распределениям нагрузок на их поверхностях, при которых давление за задней гранью подпорной стенки рv ≠ γz + q. При постановках задач о подпорных стенках, отличающихся от схем на рис. 1, а и 3, рассмотренные выше расчетные модели ведут к разным результатам. В большинстве учебных изданий, справочных данных и рекомендательных документов по определению активного давления ([2-11] и др.) сделан выбор в пользу расчетной модели теории предельного равновесия с допущением о плоской поверхности скольжения. При этом не проверяется и не является обязательным выполнение условия (6) в грунте за задней гранью подпорной стенки. Если это условие не обеспечено, то левая часть уравнения (6) может быть больше или меньше нуля, что означает в первом случае физически невозможное, во втором случае - допредельное напряженное состояние грунта, при котором линия скольжения отсутствует. Экспериментальные исследования. В книге Г.К. Клейна [12, с. 186-197] содержится обзор экспериментальных исследований горизонтального активного давления грунта на подпорные стенки, проведенных отечественными учеными в период с 1933 по 1972 гг. Большинство испытаний проводилось с несвязными грунтами (с = 0). Во всех случаях верхние грани засыпок были горизонтальными. Опыты показали существенную зависимость бокового давления грунта от перемещений стенок. Во всех опытах горизонтальное давление зафиксировано близким или превышающим активное давление по расчету методом Кулона. Линии скольжения не фиксировались. Экспериментальные исследования, несмотря на неоднозначность результатов измерений, не дают оснований для пересмотра сложившихся в теории и на практике расчетных схем. Результаты исследований применимы к вертикальным подпорным стенкам с засыпками из несвязных грунтов с горизонтальными верхними гранями. 2. Инженерный метод расчета Ниже в настоящей статье рассматривается вариант распространения расчета горизонтального давления на основе уравнения Мора-Кулона (6) на подпорные стенки по схемам, отличающимся от условий на рис. 1. В этом случае выполняется граничное условие о предельном состоянии и образовании линий скольжения в грунте на контакте с гранью подпорной стенки. В механике грунтов теоретически строгим считается решение В.В. Соколовского [13], предполагающее в пределах призмы обрушения (и следовательно, на контактной грани) предельное напряженное состояние по уравнению Мора-Кулона. Расчет активного давления на основе уравнения (6) соответствует принципам теории В.В. Соколовского с той разницей, что предельное напряженное состояние грунта рассматривается только на контактной грани и не рассматривается на остальной части засыпки как не имеющее практического значения. Для практической реализации предлагаемого метода необходимо иметь распределение вертикального давления рv в грунте за контактной (задней) гранью подпорной стенки, определяемого с учетом следующих положений: 1. Распределение вертикальных давлений рv зависит от формы расчетной области и действующих нагрузок и не меняется при переходе грунта из допредельного в предельное состояние, что позволяет считать пригодными для его описания решения теории упругости, МКЭ или эмпирически проверенные приближенные методы. 2. Горизонтальное смещение подпорной стенки, требуемое для реализации бокового давления в размере активного, считается незначительным, не влияющим на распределение вертикальных давлений. Предполагается, что при определении рv вертикальная задняя грань подпорной стенки сохраняет свое положение. В рассматриваемых ниже способах расчета вертикальных давлений применяется «метод изображений» [1, с. 400], согласно которому расчетная область засыпки условно расширяется до размеров полупространства, контактная грань заменяется плоскостью симметрии в соответствии со схемами на рис. 4. В условно образованной симметричной системе для получения рv вертикальное давление от односторонней системы сил удваивается, а касательные напряжения на плоскости симметрии равны нулю независимо от способности задней грани воспринимать трение. Приведем примеры определения рv перед задней гранью подпорной стенки без помощи МКЭ. При нахождении линейной Р или ленточной полосовой нагрузки q на верхней грани засыпки распределение вертикальных давлений рv может быть определено с использованием удвоенных решений (в соответствии с «методом изображений») задач Фламана и Митчелла теории упругости: (8) (9) где вторые слагаемые правых частей рvP и рvq выражают составляющие вертикальных давлений от локальных нагрузок Р и q с размерностями Н/м и Н/м2; z - вертикальная координата; β, β1, β2 - углы на схемах рис. 4, а, б. Вместо формулы (9) возможно использование известного в литературе [14] и проектной практике упрощенного, удовлетворительного по точности «метода трапеций и треугольников». Из точек А и В под углом 45° к вертикали проводятся лучи АC, АD, BD, BE (см. рис. 4, в). Распределение вертикальных давлений рvq в засыпке от нагрузки q по схеме с размерами a и b на горизонтальных сечениях принимается по эпюрам, равновеликим по площади нагрузке qb: до точки D - трапецеидальной формы, ниже точки D - треугольной формы. В соответствии с этими положениями, а также с условиями «метода изображений» получаем: - при z ≤ a рvq = 0; - при a < z < b/2 (10) - при z ≥ b/2 (11) На рис. 4, г приводится сравнение эпюр давлений рvq перед вертикальной задней гранью подпорной стенки высотой h = 10 м от нагрузки q = 40 кПа с размерами b = 5 м, a = 2 м, полученных двумя способами: по решению теории упругости по формуле (9) («числитель») и по «методу трапеций и треугольников» по формулам (10), (11) («знаменатель»). Поскольку оба способа расчета рvq (как и любые другие) являются приближенными, о предпочтительности одного из них речь не идет, а их сходство является удовлетворительным. а б в г Рис. 4. Схемы к определению вертикальных давлений от локальных нагрузок Р, q и «методу изображений» (а, б); схема к «методу трапеций и треугольников» (в); сравнение давлений рvq (кПа) по расчетам по формулам (9) и (10), (11) (г) Fig. 4. Schemes to determining vertical pressures depending on local loads Р, q and “method of images” (а, b); c is the scheme to the “trapeziums and triangles method”; d is the comparison of pressures рvq (кPа) using formulas (9) and (10), (11) В статье [15] приводится описание способа расчета давлений рv за задней гранью подпорной стенки, удерживающей откос на части высоты, при форме засыпки, изображенной на рис. 5. Такие условия распространены на практике в дорожном, гидротехническом строительстве, застройках пересеченных местностей, но справочные данные о боковом давлении при полигональной форме засыпки отсутствуют. Рис. 5. Схема к определению вертикальных напряжений ротк за задней гранью подпорной стенки от веса откосной части земляного полотна: 1 - задняя грань подпорной стенки; 2 - эпюры распределения qотк z /(md+2z); 3 - эпюра распределения ротк Fig. 5. Schemes to determining vertical tensions ротк behind the back facet of retaining wall depending on the weight of the ground embankment slope: 1 is the back facet of the retaining wall; 2 are the curves of distribution qотк z /(md+2z); 3 is the curve of distribution ротк Вертикальное давление определяется по формуле рv = γz + ротк, (12) где ротк - вертикальное давление за задней гранью подпорной стенки от веса откосной части насыпи высотой d. Для определения ротк предлагается способ расчета, подобный известному в строительной механике методу граничных элементов (МГЭ) [16]. Суть МГЭ состоит в условном расширении расчетной области до размеров и формы, для которых имеются готовые проверенные решения, и приложении на новых границах такой системы сил, чтобы распределение напряжений на фактической поверхности расчетной области совпало с действующей нагрузкой. Расчетная область и действующая нагрузка заменяются эквивалентной системой, в которой уровень горизонтальной грани AB смещается вверх на высоту ½md (см. рис. 5) в положение A′B′. Действующая нагрузка трапецеидального очертания заменяется полосой с интенсивностью qотк и располагается в положении в соответствии со схемой, представленной на рис. 5. При этом общий вес откосной части насыпи и заменяющей ее эквивалентной нагрузки будет равным. Для продолжения расчета применим рассмотренный выше «метод трапеций и треугольников». Проведем из точки Е два луча под углом 45°. Один из них пройдет через точку В, другой - через точку F. Примем, что на уровне AB левее точки F интенсивность нагрузки равна qотк = γd, а правее этой точки меняется по линейному закону до нуля в точке В. Тогда форма распределения нагрузки совпадет с фактическим очертанием откосной части насыпи. Будем считать, что воздействие полосовой нагрузки в системе, ограниченной горизонтальной плоскостью A′B′, является таким же, как и воздействие фактической нагрузки на нижележащую часть расчетной области. Продолжая оба луча, получим на линии ВМN на задней грани подпорной стенки вертикальные напряжения соответствующие свободному распределению напряжений в грунте без подпорной стенки. Для получения ротк в соответствии с «методом изображений» последнее выражение следует удвоить: (13) Выводы Решения настоящей статьи расширяют область применения расчетов горизонтального давления грунта на основе модели Мора-Кулона на подпорные стенки с различными формами поверхностей засыпок из несвязных и связных грунтов, в том числе слоистого строения. Предлагаемый способ расчета не связан с использованием справочных данных, пригодных для ограниченного числа задач с негоризонтальными формами поверхностей засыпок. Полученные решения, оставаясь приближенными, основаны на тех же идеях, что и метод В.В. Соколовского, который считается теоретически строгим.

### D. M Shapiro

Voronezh State Technical University

# References

1. Цытович Н.А. Механика грунтов. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1963. - 636 с.
2. ВСН 167-70. Технические указания по проектированию подпорных стен для транспортного строительства / Минтрансстрой. - М.: Оргтрансстрой, 1970. - 37 с.
3. Крей Г. Теория давления земли и сопротивление грунтов нагрузке. - М.; Л.: НТИ стройиндустрии и судостроения, 1932. - 294 с.
4. Лучковский И.Я. Определение нагрузок на подпорные стенки. - Харьков: Коллегиум, 2011. - 284 с.
5. Механика грунтов, основания и фундаменты: учебник / С.Б. Ухов [и др.]. - М.: Изд-во АСВ, 1994. - 524 с.
6. Проектирование подпорных стен и стен подвалов: справ. пособие к СНиП. - М.: Стройиздат, 1990. - 101 с.
7. Синельников В.В. Развитие метода Кулона при определении давления сыпучего тела // Строительная механика: тр. МИИТ. - 1946. - Вып. 69. - С. 241-265.
8. Снитко Н.К. Статическое и динамическое давление грунтов и расчет подпорных стенок. - Л.: Стройиздат, 1970. - 207 с.
9. Справочник геотехника. Основания, фундаменты и подземные сооружения / под общ. ред. В.А. Ильичева и Р.А. Мангушева. - М.: Изд-во АСВ, 2014. - 728 с.
10. Шапиро Д.М. Теория и расчетные модели оснований и объектов геотехники. - М.: Изд-во АСВ, 2016. - 176 с.
11. Яковлев П.И., Готман А.Л., Курмаев Р.Г. Взаимодействие сооружений с грунтом и свайные основания. - Одесса: Астропринт, 2004. - 509 с.
12. Клейн Г.К. Строительная механика сыпучих тел. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Стройиздат, 1977. - 256 с.
13. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. - М.: Изд-во АН СССР, 1942.
14. Маслов Н.Н. Основы инженерной геологии и механики грунтов: учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1968. - 511 с.
15. Шапиро Д.М., Тютин А.П., Родионов В.А. Теория и расчетные схемы дорожных инженерных сооружений из трубошпунта // Науч. вестник Воронеж. гос. строит. ун-та. Строительство и архитектура. - 2016. - № 4/44. - С. 107-119.
16. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. - М.: Мир, 1987. - 328 с.

# Statistics

Abstract - 37

### Refbacks

• There are currently no refbacks.