# Abstract

The article presents the results of the numerical analysis and model experiments to study the stability of a homogeneous isotropic slope undermined with a horizontal production having a cross-section in the form of a circle. Flume experiments were carried out on the models of homogeneous slopes, formed of an equivalent material, i.e. sand-oil mixture, physical and mechanical properties of which are close to some sandy and cohesive soils. The value of the coefficient of material’s lateral pressure is determined using the method of K.Terzaghi which entails pulling the steel band through its thickness. The models calculation and mathematical processing of the obtained results is made with the help of the software which is registered in the State Register of Computer Programs and Databases. The software formalizes the finite element method, the analytical solution of the first main and the basic mixed problem of the elasticity theory and an approximate analytical solution of the mixed problem of the theory of elasticity and theory of plasticity of soil. The construction of the most probable slip surface is carried out under the condition of the minimality of the numerical values related to the coefficient of stability margin at each point. The analysis of the results gained form the model and numerical experiments has shown their satisfactory convergence. As a result of the numerical experiment it is established that there is a significant concentration of the stress field and occurrence of regions of plastic deformations at certain distances in the neighborhood between the development and the base of the slope.

# Full Text

Целью настоящей работы является анализ и сопоставление результатов численных и модельных исследований устойчивости однородного откоса и подрабатывающей его горизонтальной выработки круглого поперечного сечения. В результате предполагается обосновать возможность использования компьютерных программ [1, 2] для проведения численных исследований устойчивости однородных подработанных откосов и самих выработок, основанием для чего может послужить адекватность получаемых в результате модельных и численных экспериментов результатов. 1. Экспериментальное оборудование В качестве экспериментального оборудования использован прямоугольный лоток (короб) с внутренними размерами 1,0×1,79×0,105 мм, боковые грани которого выполнены из листов прозрачного оргстекла (акрила) толщиной 8 мм (рис. 1), состыкованные между собой стальными уголками размером 30×30 мм. Для предупреждения деформаций стенок лотка от бокового давления загружаемого в него эквивалентного материала установлены стальные стяжки, так - чтобы они не препятствовали разрушению модели при проведении эксперимента. На обеих фронтальных стенках, в средней их части на высоте 0,25 м от дна лотка, имеются квадратные отверстия, через которые внутрь него помещаются короба-шаблоны, позволяющие создавать имитацию (после их извлечения) подземных выработок, ослабляющих модель однородного откоса. Рис. 1. Лоток для проведения модельных экспериментов Fig. 1. Tray for model experiments Поперечное сечение короба-шаблона может быть практически любым, что позволяет проводить эксперименты, имитируя выработку с требуемой формой ее поперечного сечения. 2. Материал моделей В качестве материала, из которого в лотке формируются модели однородных откосов, использована песчано-масляная смесь, сдвиговые характеристики которой в неуплотненном и уплотненном состоянии приведены соответственно в табл. 1, 2. Таблица 1 Сдвиговые характеристики песчано-масляной смеси в неуплотненном состоянии Table 1 Shear characteristics of unconsolidated sand-oil mixture P, МПа τ, МПа tg φ φ C, кПа значение опытное расчетное 0,1 0,06 0,06 0,55 28°49' 5 0,2 0,115 0,115 0,3 0,17 0,17 Таблица 2 Сдвиговые характеристики песчано-масляной смеси в уплотненном состоянии Table 2 Shear characteristics of compacted sand-oil mixture P, МПа τ, МПа tg φ φ C, кПа значение опытное расчетное 0,1 0,06 0,06 0,575 29°54' 2,5 0,2 0,118 0,118 0,3 0,175 0,175 Прочностные характеристики материала установлены путем его испытания при консолидированном сдвиге в приборе ГГП-30 в лаборатории механики грунтов ООО «Радиан», результаты приведены на рис. 2. в а б Рис. 2. Диаграммы сдвига неуплотненного и уплотненного эквивалентного материала (а, б) и сдвиговой прибор ГГП-30 (в) Fig. 2. Shera graphs of the unconsolidated and compacted equivalent material (a, b) and shear device GGP-30 (c) Среднее значение объемного веса материала моделей g определено равным 17,2кН/м3, а величина его коэффициента бокового давления xо, найденная на основе метода К. Терцаги [3-5], равна 0,4. 3. Формирование моделей и последовательность проведения эксперимента Формирование модели однородного откоса, подработанного горизонтальной выработкой, выполнялось в следующей последовательности. На передней фронтальной стенке лотка цветным мелом очерчивался контур модели откоса с учетом того, на каком расстоянии от его подошвы будет располагаться выработка. На первом этапе укладывался слой эквивалентного материала на высоту от дна лотка до нижних границ шаблонов выработки, закрепленных на акриловых стенках экспериментального лотка. Последующие слои толщиной, приблизительно равной 10 см, укладывались с выдержкой примерно в 30 мин после завершения укладки предыдущего слоя. После достижения слоем эквивалентного материала, расположенного выше потолочины выработки, дневной поверхности модели заполненный таким образом эквивалентным материалом лоток оставлялся в покое на 3 ч для обеспечения установления поля напряжений, создаваемых силой тяжести. По истечении этого времени проводилось аккуратное извлечение грунта из части лотка (разгрузка, отработка откоса) и формировалась модель откоса. После формирования модели ее фотографировали и опять оставляли в покое на 3 ч для перераспределения напряжений в связи с «разгрузкой» модели. После этого проводилось осторожное извлечение короба-шаблона, фотографирование модели, фиксация нарушений ее целостности и состояние имитационной выработки. 4. Результаты модельного эксперимента Описанная выше процедура проведена для моделей откосов, геометрические параметры которых приведены на рис. 3, и. Разница заключалась в том, что цилиндрический короб-шаблон диаметром 5 см последовательно размещался на расстояниях L = 0,15; 0,2; 0,25; 0,3Н а б в г д е ж з Рис. 3. Фотографии модели откоса из эквивалентного материала, подработанной круглой горизонтальной выработкой, до и после извлечения короба-шаблона при расстояниях от центра выработки до подошвы модели, равных 0,15Н (а, б), 0,2Н (в, г), 0,25Н (д, е), 0,3Н (ж, з) и геометрические размеры поперечного сечения модели при L = 0,3Н(и) Fig. 3. Photos of the slope’s model of an equivalent material, undermined with a round horizontal production to t after removing the box pattern at the distances from the production’s center to the soles of the model equal to 0,15 H (a, b) 0,2 H (c, d), 0,25 N (e, f), 0,3 H (g, h) and the geometrical dimensions of the cross section of the model at L = 0,3 H (i) и Рис. 3. Окончание Fig 3. The ending от линии перехода откоса в подошву. Фотографии моделей, сделанные до и после извлечения короба-шаблона, приведены на рис. 3. Их анализ показывает, что если L ≤ 0,25Н, то происходит разрушение контура выработки и сама модель откоса теряет устойчивость. При L = 0,3Н модель откоса остается в устойчивом состоянии, а из потолочины выработки происходит весьма незначительный вывал эквивалентного материала (см. рис. 3, з). 5. Численная интерпретация результатов эксперимента При помощи компьютерных программ [1, 2], в которых формализован в том числе метод конечных элементов [6, 7], выполнен обсчет механико-математических моделей, соответствующих физическим моделям подрабатываемого откоса, которые были сформированы в ходе модельного эксперимента. На рис. 4 в качестве примера приведена расчетная схема физической модели при ее угле заложения β = 60о, L = 0,15Н, d = 0,1Н. Расчетная схема состоит из 1163 треугольных элементов, сопряженных в 636 узлах, что обеспечивает минимальное значение ширины матрицы жесткости системы, которая в рассматриваемом случае равна 1262. а б Рис. 4. Расчетная схема (а) модели и ее фрагмент (б) при угле заложения модели откоса β = 60о, L = 0,15Н, d = 0,1Н с картиной дискретизации расчетной схемы на конечные элементы Fig. 4. Calculation scheme (a) of the model and its fragment (b) at an angle of laying the model’s slope β = 60º, L = 0,15 Н, d = 0,1 Н with a picture showing the discretization of the design scheme into finite elements Результаты вычисления напряжений, построения областей пластических деформаций и следов поверхностей скольжения приведены на рис. 5. 0,70 0,65 0,1 0 0,2 0,3 а в 0,5 0,6 ОПД СНВПС К = 1,48 К = 0,8 б г ОПД(УП) д Рис. 5. Картины изолиний безразмерных (в долях γН) горизонтальных σx (а), вертикальных σz (б), касательных τxz (в) напряжений, области пластических деформаций и следы поверхностей скольжения (г, д) в однородном откосе с углом заложения β = 60о, подработанном горизонтальной круглой выработкой диаметром d = 0,1H при L = 0,15Н Fig. 5. Pictures of contours of dimensionless (in fractions γН) horizontal σx (а), vertical σz (b), τxz tangential (c) stresses, the areas of plastic deformations and traces of the sliding surfaces (d, e) in a homogeneous slope with a shallow angle of β = 60º, undermined with a horizontal round production with a diameter of d = 0,1 H at L = 0,15 H Анализ картин изолиний всех компонент напряжения показывает, что образование в однородном откосе горизонтальной выработки круглого поперечного сечения вызывает значительные концентрации напряжений в ее окрестности, на контуре выработки горизонтальные напряжения становятся растягивающими, хотя это растяжение быстро затухает, касательные напряжения в непосредственной близи от выработки имеют различные знаки. Все это способствует образованию вокруг выработки областей пластических деформаций, которые для данного примера приведены на рис. 5, г и 5, д. Причем на первом из них (см. рис. 5, г) приведены области пластических деформаций, построенные на основании условия прочности Кулона [8-10], которое описывается любым из выражений: (1) где s1 и s2 - главные нормальные напряжения в рассматриваемой точке; sx, sz и txz - компоненты полного напряжения в той же точке; sсв - давление связности, sсв = Сctgj; С, j и qmax - соответственно удельное сцепление, угол внутреннего трения грунта и угол максимального отклонения. Области, в каждой точке границ которых выполняются условия (1), считаются областями пластических деформаций (ОПД). На втором рисунке (см. рис. 5, д) приведены области пластических деформаций, построенные на основе приближенного аналитического решения смешанной задачи теории упругости и теории пластичности грунтов [11-15]. При этом границы ОПД могут быть построены на основе следующих выражений: (2) (3) (4) где ; sz, sx и txz - компоненты напряжения в рассматриваемой точке, вычисленные на основе решения соответствующей задачи теории упругости; q и jq - соответственно угол наклона касательной к границе между упругой и пластической областью в рассматриваемой точке и «пограничное» значение угла внутреннего трения грунта в той же точке. Как видно из рис. 5, ОПД имеют небольшие размеры (в первом случае они больше), однако из-за их возникновения поле напряжений в приоткосной области трансформировалось и произошло разрушение как откоса, так и самой выработки. На рис. 5, г изображены следы наиболее вероятных поверхностей скольжения (НВПС), построенные при отсутствии выработки и при ее наличии. В первом случае откос находится в устойчивом состоянии и коэффициент запаса устойчивости K = 1,49. При наличии же выработки положение поверхности скольжения меняется, происходит разрушение откоса, а вычисленное значение коэффициента запаса устойчивости K = 0,8, что соответствует разрушению объекта. В качестве примера в табл. 3 приведены данные о значениях удерживающих и сдвигающих сил и напряжений в соответствующих точках следа поверхности скольжения. Таблица 3 Значения удерживающих и сдвигающих сил и напряжений в точках следа поверхности скольжения Table 3 Values of restraint and shear forces and stresses at the points of the track of the sliding surface Номер X Y a1 Fудер Fсдвиг σx σy txy 1 1,007 0,990 9,451 0,440 0,345 0,493 0,553 0,354 2 1,007 1,007 22,813 0,452 0,332 0,227 0,701 0,232 3 1,207 1,049 31,934 0,261 4,107 0,117 5,174 4,171 4 1,307 1,111 32,068 0,425 0,351 0,086 0,718 0,153 5 1,407 1,174 31,073 0,425 0,298 0,137 0,665 0,139 6 1,507 1,234 32,253 0,418 0,270 0,141 0,629 0,116 7 1,607 1,297 33,900 0,411 0,247 0,139 0,597 0,094 8 1,707 1,364 40,866 0,382 0,220 0,134 0,557 0,076 9 1,807 1,451 36,182 0,387 0,192 0,129 0,495 0,058 10 1,907 1,524 37,259 0,375 0,162 0,128 0,440 0,043 11 2,007 1,600 38,162 0,362 0,128 0,129 0,378 0,030 12 2,107 1,679 38,747 0,349 0,090 0,134 0,310 0,020 13 2,207 1,759 38,250 0,335 0,050 0,140 0,237 0,012 14 2,307 1,838 24,935 0,321 0,010 0,148 0,164 0,007 15 2,407 1,884 -33,381 0,314 0,014 0,153 0,126 0,006 Примечание. Площадь эпюры удерживающих сил: 0,5280350. Площадь эпюры сдвигающих сил: 0,5280350. Коэффициент устойчивости: 0,5280350. Отметим, что величина коэффициента запаса устойчивости Km в любой точке грунтового массива и глобальный коэффициент устойчивости откоса Kгл по наиболее вероятной поверхности скольжения определяются формулами [11, 16-19]: (5) (6) где Fуд и Fсд - удерживающие и сдвигающие силы в точках НВПС, определяемые соответственно числителем и знаменателем формулы (5); S - дуговая координата точки НВПС. Выводы Анализ результатов модельных и численных экспериментов показал их удовлетворительную сходимость. В результате численного эксперимента установлено, что при расстоянии L = 0,1; 0,15; 02H в окрестности выработки наблюдается существенная концентрация поля напряжений и возникают области пластических деформаций. Это вызывает новое перераспределение напряжений, влекущее за собой разрушение модели откоса и самой выработки. Если L ≥ 0,3Н, то области пластических деформаций имеют существенно меньшие размеры и не вызывают критического перераспределения напряжений, модель откоса не теряет устойчивости, а из потолочины имитационной выработки происходят весьма незначительные вывалы эквивалентного материала, при этом общая устойчивость выработки не нарушается [16-18]. Соответствующая картина наблюдается и при проведении модельного эксперимента. Таким образом, подтверждена возможность использования компьютерных программ [1, 2] для проведения численных исследований устойчивости подрабатываемых откосов.

### A. N Bogomolov

Perm National Research Polytechnic University; Volgograd State Technical University

# References

1. FEA: св-во о гос. рег. программы для ЭВМ № 2015617889 / А.Н. Богомолов [и др.]. Зарег. 23 июля 2015 г.
2. Устойчивость (напряженно-деформированное состояние): св-во о гос. рег. программы для ЭВМ № 2009613499 / А.Н. Богомолов [и др.]. Зарег. 30 июня 2009 г.
3. Терцаги К. Теория механики грунтов. - М.: Госстройиздат, 1961. - 507 с.
4. Терцаги К., Пек Р. Механика грунтов в инженерной практике. - М.: Госстройиздат, 1958. - 607 с.
5. Терцаги К. Строительная механика грунта на основе его физических свойств. - М.; Л.: Госстройиздат, 1933. - 390 с.
6. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. - М.: Недра, 1987. - 221 с.
7. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. - М.: Мир, 1986. - 318 с.
8. Zienkiewicz O.C., Humpheson С., Lewis R.W. Associated and non-associated visco-plasticity and plasticity in soil mechanics // Geotechnique. - 1975. - № 4. - P. 671-689.
9. Cagout G. Eguilibre des massifs a frottemenet interne. - Paris, 1934. - 443 p.
10. Coulomb C. Application des rigles de maximus et minimis a quelques problemes de statique relatifs a Larchitecture // Memories de savants strangers de LAcademlie des sciences de Paris, 1773. - 233 p.
11. Богомолов А.Н. Расчет несущей способности оснований сооружений и устойчивости грунтовых массивов в упругопластической постановке / ПГТУ. - Пермь, 1996. - 150 c.
12. Развитие областей пластических деформаций в однородном основании гибкого ленточного фундамента в рамках модели смешанной задачи теории упругости и теории пластичности грунта / А.Н. Богомолов, О.А. Богомолова, А.И. Вайнгольц, В.В. Подтелков // Интернет-вестник Волгоград. гос. арх.-строит. ун-та. Сер. Политематическая. - 2013. - Вып. 2 (27). - 5 с.
13. Напряженное состояние и области пластических деформаций в однородном основании ленточного фундамента в условиях смешанной задачи теории упругости и теории пластичности грунта / А.Н. Богомолов, О.А. Богомолова, А.И. Вайнгольц, А.В. Прокопенко, А.В. Соловьев // Инновационные конструкции и технологии в фундаментостроении и геотехнике: материалы науч.-техн. конф., Москва, 27-29 октября 2013 г. - М.: Палеотип, 2013. - С. 9-22.
14. Богомолов А.Н., Богомолова О.А. Смешанная задача теории упругости и теории пластичности грунта для однородного основания // Вестник Волгоград. гос. арх.-строит. ун-та. Строительство и архитектура. - 2013. - Вып. 33 (52). - С. 13-22.
15. Bogomolov A.N., Bogomolova O.A. Mixed task of the theory of elasticity and theory of plasticity of soil for the uniform basis // Збірник наукових праць (галузеве машинобудування, будівництво). - 2013. - Т. 1, вип. 3 (38). - С. 3-15.
16. Современные методы расчета фундаментов / А.Н. Богомолов, С.И. Евтушенко, А.Н. Ушаков, С.И. Шиян. - Новочеркасск: Изд-во ЮРГТУ (НПИ), 2011. - 238 с.
17. Цветков В.К. Расчет устойчивости откосов и склонов. - Волгоград: Нижне-Волж. книж. изд-во. - 1979. - 238 с.
18. Цветков В.К. Расчет рациональных параметров горных выработок: справ. пособие. - М.: Недра, 1993. - 291 с.
19. Цветков В.К. Расчетные коэффициенты устойчивости грунтовых откосов и склонов // Надежность и долговечность строительных материалов, конструкций и оснований фундаментов: материалы IV Междунар. науч.-техн. конф. - Волгоград, 2005.

# Statistics

Abstract - 121

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2018 Bogomolov A.N., Abramov G.A., Bogomolova O.A., Pristanskov A.A., Ermakov O.V.