Full Text

Хорошо известно, что одной из центральных проблем геомеханики является задача о напряженно-деформированном состоянии вокруг выработок различных форм сечения в горном или грунтовом массиве [1-4]. При этом особенно важной является задача о распределении напряжений на контуре выработки. Поскольку один из размеров - как правило, длина - во много раз превышает два других, то задача по вычислению компонент напряжений может быть сведена к плоской. Для решения плоских задач теории упругости весьма эффективным является применение методов теории функций комплексного переменного [5-13]. При этом сечение выработки можно получить при помощи функции комплексного переменного осуществляющей конформное отображение внутренности или внешности единичного круга на внешность бесконечной односвязной области с отверстиями различной конфигурации, форма которых зависит от значений коэффициентов отображающей функции. Однако построение функции, совершающей конформное отображение, представляет собой довольно трудную задачу, и даже если удается получить для нее аналитические выражение - как правило, достаточно громоздкое, то приходится отказываться от этих выражений, заменяя их наиболее удобными и хорошо изученными функциями. К последним следует отнести прежде всего полиномы. Это обстоятельство способствовало разработке приближенных методов построения отображающих функций [9, 14-16]. К классу полиномов относится и предложенная В.К. Цветковым [17, 18] отображающая функция, используемая в настоящей работе. Целью данного исследования является получение и анализ формулы для определения напряжений по контурам одиночных отверстий подземных выработок заданных конфигураций в случае, когда эти контуры подвержены равномерному давлению р. Рассмотрим бесконечную односвязную область, границей которой является семейство простых замкнутых кривых. Следуя [17, 18], функцию, отображающую эту область на внутренность единичного круга, примем в виде (1) где действительные числа. Полагая в выражении (1) и отделяя вещественную часть от мнимой, получим уравнения контуров отверстий в параметрическом виде: (2) где Рассмотрим подземную выработку неограниченной длины и сечения, конфигурация которого определяется при помощи отображающей функции (1) и задается параметрическим уравнением (2). Пусть контур этой выработки подвержен равномерному давлению р. Тогда напряженное состояние в горном массиве, ослабленном выработкой, имеет вид (3) где р - постоянная величина, причем будем полагать [2], что при контур выработки испытывает равномерное сжатие постоянной величины р, а при равномерное растяжение той же интенсивности. Для нахождения компоненты тангенциального нормального напряжения введем функцию комплексного переменного: (4) где соответствует напряженному состоянию в не нарушенном выработкой горном массиве, а определяет компоненту напряжения, вызванную наличием выработки. Тогда, учитывая (1) и (3), имеем (5) Теперь необходимо получить выражение для функции . Рассмотрим граничное условие вида [9, с. 60] (6) где - точка, лежащая внутри единичного круга - значение переменной на единичной окружности; приведенное контурное условие для функции Поскольку функция голоморфна в круге то положим , (7) где - действительные числа. Тогда . (8) Далее . (9) Вычислим интеграл , в котором функция имеет вид (7). Получим (10) Перейдем к вычислению интеграла, стоящего в правой части граничного условия (6). Для рассматриваемого случая имеем Тогда (11) Подставляя значения интегралов (10), (11) в граничное условие (6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим (12) Таким образом, с учетом значений (12) из (7) имеем (13) при этом компонента напряжения описывается формулой (5). Для нахождения напряжений по контурам отверстий воспользуемся соотношением Г.В. Колосова - Н.И. Мусхелишвили [6]: (14) где (15) Положим . Тогда числитель дроби (15) перепишем в виде знаменатель дроби имеет вид Введем обозначения: (16) Тогда соотношение (14) с учетом обозначений (16) принимает вид (17) причем Обозначим: , (18) Тогда (19) Далее, с учетом соотношений (16) и (18), формула (17) принимает вид (20) где , , (21) . Поскольку к контуру отверстия приложено давление интенсивности р, формула тангенциального нормального напряжения (20) принимает вид (22) Проведем исследование соотношения (22) как функции аргумента т.е. Нетрудно видеть, что функция регулярна при любых значениях аргумента Действительно, согласно (19) знаменатель дроби (22) неотрицателен при всех значениях аргумента Из вывода формулы (22) следует, что коэффициент отображающей функции . Тогда, поскольку два последних выражения из формулы (16) не обращаются в нуль одновременно, заключаем, что знаменатель дроби (22) не обращается в нуль ни при каких значениях аргумента Нахождение нулей функции сводится к решению уравнения (23) где . Заметим, что при уравнение (23) является кубическим, а при - квадратным. Согласно [18] это означает, что в случае сечений полуэллиптической формы значения тангенциальных нормальных напряжений имеют на контурах выработки не более трех нулей, а для сечений эллиптической формы - не более двух. Найдем экстремальные значения функции Для этого вычислим ее производную. Преобразовывая получившееся выражение и приравнивая его к нулю, имеем два уравнения для нахождения критических значений: (24) где (25) Уравнение дает значения и а уравнение (24) можно решить на отрезке приближенно. Наконец, заметим, что для всех значений аргумента выполняется равенство , т.е. график функции симметричен относительно прямой В работе [17] приведена формула тангенциальных нормальных напряжений, использованная автором для определения при заданных напряжениях на контурах выработок, возникающих от действия собственного веса пород, форм поперечных сечений, построенных при помощи отображающей функции (1) подземных и открытых выработок в зависимости от коэффициента бокового распора ненарушенного однородного, линейно деформируемого горного массива. Приведем ее с учетом выбора знаков для растягивающих и сжимающих напряжений. Имеем (26) где (27) коэффициенты, стоящие в знаменателе дроби (26), вычисляются по формулам (18); - объемный вес пород; - коэффициент бокового распора; глубина заложения выработки. Вывод формулы (26) приведен в монографии [19]. Формула (26) получена в предположении, что глубина заложения выработки существенна. Следуя [4], будем полагать, что (28) где наибольший линейный размер сечения выработки. Складывая формулы (22) и (26), получим формулу тангенциальных нормальных напряжений для решения поставленной задачи, т.е. (29) Формула (29) описывает напряженное состояние на контуре выработки заданного сечения при условии равномерного давления интенсивности р в точках контура. Нахождение нулей тангенциальных нормальных напряжений сводится к решению уравнения (30) где , . С учетом результатов работы [20] заметим, что экстремальные значения функции (29) могут быть получены из уравнений: (31) где (32) Теперь, используя представленные выше соотношения, приведем пример решения задачи, требующей применения формулы (29). Задача. Исследовать напряженное состояние в точках границы односвязной бесконечной области, имеющей заранее заданное очертание и находящейся под действием всестороннего равномерного давления, при различных значениях величины коэффициента бокового распора. Решение задачи проведем для контуров, имеющих вид трапеции и эллипса. Рассмотрим в качестве вмещающей породы гранит с объемным весом и пределами прочности при растяжении и сжатии . Поскольку наибольший линейный размер трапециевидной выработки - ее ширина, равная 5 м, то, с учетом (25), положим Тогда . При решении задачи используем два значения величины коэффициента бокового распора: и Первое из них соответствует величине коэффициента Пуассона ν, которая для горных пород составляет в среднем 0,02 [4]. Второе соответствует величине коэффициента Пуассона ν = 0,5 и предполагает гидростатическое распределение напряжений в горном массиве, которое принимается при определении напряжений на достаточно больших глубинах [1]. 1. Выработка трапециевидного сечения. Рассмотрим выработку трапециевидного сечения (рис. 1), соответствующую коэффициентам отображающей функции (1), имеющим следующие значения: (33) Заметим, что значения коэффициентов (21) не зависят от величины коэффициента бокового распора и в обоих случаях составляют: (34) Рис. 1. Выработка трапецевидного сечения Fig. 1. Production of trapezoid-visible cross-section Случай На основании формул (27) получаем: (35) Тогда уравнение (30) принимает вид (36) Для нахождения нулей необходимо задать значения давления р. Из условий задачи следует, что необходимо выбирать значения В качестве значений напряжений, приложенных к контуру выработки, положим: (37) Прямые вычисления по формуле (35) с учетом (36) дают следующие значения нулей: при при при Перейдем к вычислению экстремальных значений тангенциальных нормальных напряжений. По формулам (31) и (32) с учетом (34), (35) получим: при имеем Присоединяя к полученным значениям и имеем: Тогда (38) При имеем . Пусть Тогда Значит, . (39) И наконец, при имеем Дополняя значения аргумента значениями и , имеем Отсюда (40) Проведенные вычисления позволяют выделить участки, на которых при заданных значениях равномерного давления (37) действуют растягивающие напряжения, а именно: при имеем при имеем при имеем На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработки трапециевидной формы сечения при заданных значениях равномерного давления и в случае приведены на рис. 2. Опираясь на результаты работы [19] и значения (38)-(40), исследуем прочность рассматриваемой выработки при данных значениях (34) давления. Для этого необходимо выполнение следующих неравенств: (41) Проверка показывает, что при оба неравенства (41) выполняются; при и выполняется лишь второе из неравенств (41). Таким образом, а б в Рис. 2. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений Fig. 2. Diagrams of tangential normal stresses данная трапециевидная выработка при давлении, равном является прочной, а при остальных двух значениях давления выработка теряет прочность, поскольку растягивающее напряжение, прикладываемое к точкам контура выработки, превышает предельно допустимое значение. Случай Формулы (27) дают (42) Тогда уравнение (30) принимает вид (43) Прямые вычисления по формуле (43) с учетом (37) дают следующие значения нулей: при нулей нет; при при Аналогично предыдущему случаю, вычислим экстремальные значения тангенциальных нормальных напряжений. При имеем Пусть Тогда Тогда (44) При имеем Тогда, с учетом и получим: (45) И наконец, при имеем Тогда, полагая получим: (46) Как и для предыдущего случая, выделим участки, на которых при заданных значениях равномерного давления (37) действуют растягивающие напряжения. Имеем: при на интерваледействуют только сжимающие напряжения; при при На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработки трапециевидной формы сечения при заданных значениях равномерного давления и в случае приведены на рис. 3. а б в Рис. 3. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений Fig. 3. Diagrams of tangential normal stresses Для определения прочности выработки воспользуемся неравенствами (41). Проверка справедливости этих неравенств с учетом значений (44)-(46) показывает, что не выполняется лишь первое из неравенств при что означает потерю прочности трапециевидной выработки при данном растяжении. 2. Выработка эллиптического сечения Полагая в отображающей функции (1) (47) получим (48) Функция (48) осуществляет конформное отображение внутренности единичного круга на бесконечную плоскость с эллиптическим отверстием, причем окружности соответствует эллипс с центром в начале координат и полуосями , . Задавая значения и можно получать эллипсы любой формы и размера. Если то эллипс обращается в окружность. В предельном случае эллипс обращается в отрезок оси длины , заключенный между точками , и область обращается в бесконечную плоскость с прямолинейной щелью. Согласно (21) (49) С учетом соотношений (49) формулы (27) дают: - при ; (50) - при (51) Уравнение (30) для коэффициентов (50) и (51) принимает соответственно вид: (52) (53) Уравнение (31) с учетом (32), (49)-(51) на отрезке в обоих случаях дает значение Формула для тангенциальных нормальных напряжений с учетом значений коэффициентов (49), (50) принимает вид (54) Аналогично предыдущему случаю, учитывая (49), (51), имеем (55) Полагая в формулах (54) и (55) , получим формулы тангенциального нормального напряжения для круглой выработки: (56) (57) Подставляя данные задачи в соотношение (56) и приравнивая его к нулю, выделим участки, на которых при заданных значениях равномерного давления (37) действуют растягивающие напряжения. Имеем при при на остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения; при на всем участке действуют лишь растягивающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для выработки круглого сечения при и заданных значениях равномерного давления приведены на рис. 4. а б в Рис. 4. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений Fig. 4. Diagrams of tangential normal stresses Нетрудно видеть, что при растягивающие напряжения переходят в сжимающие и наоборот - при значениях равномерного давления, превышающего величину равную, с учетом принятых в данной задаче значений давления (37), Таким образом, при и в точках контура будут действовать сжимающие, а при - растягивающие напряжения. Наконец, устремляя в формулах (54) и (55) , получим формулы тангенциальных нормальных напряжений для прямолинейной щели длины на оси абсцисс. Имеем (58) (59) Таким образом, в случае коэффициента бокового распора прикладывая в точках контура растягивающее равномерное давление, тангенциальные нормальные напряжения будут сохранять знак при т.е. в условиях нашей задачи что отвечает значению при и в точках контура в этом случае будут сжимающие напряжения. В случае , как следует из формулы (59), прикладывая, например, в точках контура растягивающее равномерное давление, получим сжимающие напряжения той же интенсивности. Выводы 1. Получены в замкнутом виде выражения для вычисления тангенциальных нормальных напряжений для подземных горизонтальных выработок различной формы поперечного сечения, расположенных на заданной глубине при равномерном давлении, распределенном по контуру выработки. Формулы для нахождения нулевых и экстремальных значений тангенциальных нормальных напряжений представляют собой тригонометрические уравнения, соответственно четвертого и пятого порядков, которые могут быть решены приближенно с достаточной для практики степенью точности. Вычисленные по анонсированным формулам величины напряжений зависят от численных значений объемного веса и коэффициента бокового распора (коэффициента Пуассона) вмещающей горной породы. 2. Использование формулы (29) позволяет вычислить величины нормального тангенциального напряжения в точках границы односвязной области (контура выработки), описываемой функцией (1). Выделить участки границы, на которых действуют либо сжимающие, либо растягивающие напряжения, вычислить их минимальные и максимальные значения в зависимости от типа вмещающей породы, глубины заложения выработки и значения интенсивности равномерного всестороннего давления, распределенного по этой границе. 3. Если выработка имеет форму окружности, то при μ = 1 и при значениях интенсивности равномерного давления, превышающих некоторую величину, на ее контуре могут возникать тривиальные распределения напряжений.

About the authors

A. N Bogomolov

Volgograd State Technical University

O. A Bogomolova

Volgograd State Technical University

A. N Ushakov

Volgograd State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 149

Refbacks

• There are currently no refbacks.