Full Text

Известны теоретические решения осесимметричной задачи о толстостенной трубе [1]. Эту задачу, в качестве основы, можем применить для решения осесимметричной задачи в геотехнике. На практике эта задача может быть использована при определении критической нагрузки на стенки скважины или определении напряженно-деформированного стояния (НДС) вокруг нее, при наличии гравитационного давления массива грунта. При этом возникает справедливый вопрос о растягивающих напряжениях и деформациях в массиве грунта в тангенциальном направлении. Дело в том, что, в отличие от упругой задачи о толстостенной трубе, напряжения и деформации в тангенциальном направлении из-за ограниченности прочности грунта на растяжения отсутствуют или чрезмерно малы [2, 3]. Несмотря на эти ограничения, для решения геотехнической задачи о скважине с внутренним давлением за основу примем решение Ламе [1]. Кратко ознакомимся с упругим решением Ламе. Обозначим через εr - радиальную деформацию (в направлении радиуса цилиндра), через εt - окружную или тангенциальную деформацию. Линейные деформации и нормальные напряжения возникают в трех взаимно перпендикулярных направлениях: σr = Еεr и σt = Еεt. Если в осевом направлении вдоль отверстия деформация свободна, т.е. отсутствуют внешние ограничения, препятствующие упругому изменению длины трубы, можно принять условие, когда нормальное напряжение σх = 0. Рассмотрим действие двух давлений: внутреннего давления р1 и внешнего р2, равномерно распределенных по внутренней и наружной поверхностям полого цилиндра. Внешний и внутренний ее радиусы обозначим соответственно через и . Определим усилия, передающиеся при указанной нагрузке на произвольно выбранный элементарный объем dV (рис. 1). Рис. 1. Напряжения в полом цилиндре от действия внутреннего и внешнего давлений Fig. 1. Stresses in the hollow cylinder from the action of internal and external pressures Составим уравнение равновесия сил в радиальном направлении вдоль оси R: Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго порядка малости и принимая получим (1) В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение (1) является единственным, получаемым из условия равновесия, но с двумя неизвестными . Поэтому задача будет статически неопределимой. Применительно к грунтам, с учетом теории прочности, можно утверждать, что тангенциальные напряжения должны удовлетворять условию где - соответственно величины удельного сцепления и угла внутреннего трения. С учетом этого, т.е. дифференциальное уравнение (1) переходит в однородное и имеет вид (2) В базовом варианте дифференциальное уравнение имеет две неизвестные . Для того чтобы задачу (1) свести к однородной, используют закон Гука. Составляется второе уравнение - уравнение в перемещениях: (3) Решая эти два уравнения относительно и , можно получить выражение в перемещениях: (4) В уравнениях (3) оба напряжения и выражены через переменную u, т.е. через величину радиального перемещения, соответствующую радиусу r. Подставляя значения напряжений (4) в уравнение (1), получим дифференциальное уравнение, выраженное в перемещениях: (5) Решение дифференциального уравнения относительно радиального перемещения имеет вид (6) где С1 и С2 - постоянные интегрирования. Подставляя выражение (6) в (5), окончательно получим величины напряжений: Для упрощения полученных формул введем другие постоянные (C и D), придав последним двум выражениям следующий вид: (7) Несложно заметить, что выражение (6) имеет аналогичный вид, полученный для плоской задачи [4]. Это выражение позволяет найти как радиальное, так и окружные тангенциальные напряжения при произвольном значении независимого переменного r, т.е. для всякого концентрического слоя грунта в скважине. Значения постоянных С и D определяем из граничных условий. Решая систему этих уравнений относительно С и D и принимая условие несложно получить, что Рассмотрим случай, когда р1 > р2. В этом случае радиальные напряжения положительные, т.е. грунт в этом направлении работает на сжатие, Тангенциальные напряжения отрицательные, Напомним, что величина применительно к грунтам определяется из условия отсутствия перемещения на расстояние , равное активной области сжатия концентрического слоя, определяемое на основании экспериментов На рис. 2 представлен экспериментальный график зависимости изменения радиальных перемещений от перемещений Рис. 2. Зависимости изменения радиальных напряжений от приведенного расстояния (r/r0): 1, 2, 3, 4 - соответственно вычисленные по выражениям (7), (12), (14), (13) и 5 - результаты экспериментов Fig. 2. Dependences of the change in radial stresses on the reduced distance (r/r0): 1, 2, 3, 4 - respectively calculated from the expressions (7), (12), (14), (13) and 5 - experimental results Как видно из результатов экспериментов, для песков средней крупности активная область сжатия Горизонтальные внешние гравитационные напряжения p2 могут определяться из условия равенства (8) где и - соответственно средневзвешенная величина удельного веса грунта, глубина слоя и коэффициент бокового давления грунта. С учетом условия рассмотрим решение однородного дифференциального уравнения (2). Преобразуем уравнение (2) к виду (9) Решение однородного дифференциального уравнения (9) записывается в следующем виде: или (10) где С - постоянная интегрирования, определяется из граничных условий при и откуда или Итак, окончательно выражение (10) запишем в виде . (11) Как показали результаты лотковых экспериментов (см. рис. 2), в грунтовой среде радиальные напряжения уменьшаются более интенсивно и при удовлетворяется условие Поэтому выражение (11) для практических целей с точностью применительно к грунтам можно написать в виде степенной функции вида , (12) где k - коэффициент, определяемый экспериментальным путем, в зависимости от вида грунта изменяется в пределах Таким требованиям также удовлетворительно отвечает координатная функция вида (13) Или в более компактном виде (14) где - коэффициент, определяемый экспериментом. Например, для выражений (12) при для выражения (13) и для выражения (14) при k = 1 Вычисленные результаты сравнивались с экспериментальной кривой перемещений с максимумом Как видно из представленного графика, результатам эксперимента отвечают координатные функции (12)-(14). Рассмотрим случай, когда р2 > р1. В этом случае как радиальные, так и тангенциальные напряжения положительные, т.е. грунт в этом направлении работает на сжатие. Если эти напряжения принять как главные, то в соответствии с теорией прочности Кулона - Мора они должны удовлетворять условию (15) Подставляя в выражение (15) величины (7), получим: Предположим, что внутри скважины в этом случае, решив задачу по отношению к предельной нагрузке p2, получим: (16) При и и С учетом (8) Пример. Требуется определить максимальную глубину скважины, где выполняются условия прочности и устойчивости грунтов: , , Иными словами, на глубине 4 м на поверхности стенки скважины возрождаются начальные условия прочности и полное ее формирование завершается на глубине 11 м. Напомним, что для грунтов, расположенных глубже грунтовых вод, необходимо принимать Выводы 1. Для определения радиальных и тангенциальных напряжений в скважине с внутренним эффективным давлением использование уравнения теории упругости приводит к медленному его убыванию по горизонтали, что не наблюдается на практике. 2. Наиболее близкие величины для грунтов, полученные авторами, описаны в выражениях (12)-(14). 3. Экспериментально доказано, что величина активной области сжатия для грунтовых скважин с внутренним эффективным давлением p1 приблизительно равна что практически в два раза превышает показатель, полученный для штамповых испытаний в условиях полупространства. 4. Получены математические выражения прочности и устойчивости скважин от гравитационных нагрузок грунта.

About the authors

A. Z Khasanov

Samarkand State Architectural and CIvil Engineering Institute

Z. A Khasanov

Samarkand State Architectural and CIvil Engineering Institute

N. A Nabieva

Samarkand State Architectural and CIvil Engineering Institute

J. A Khasanov

Samarkand State University

References

Statistics

Views

Abstract - 661

PDF (Russian) - 202

Refbacks

• There are currently no refbacks.