# Abstract

The paper considers three approaches to determining the angle of inclination of the most likely fracture site at a point in the soil mass. It is shown that the value of the safety factor at a point located in the thickness of the soil substantially depends on the orientation angle of the fracture site, which, in turn, is a function of the geometric parameters (cross-sectional shape) of the studied soil mass, its stress state, and the physicomechanical properties of the component soil mass: specific adhesion, angle of internal friction, density and lateral pressure coefficient. Comparison of the results of numerous calculations allows us to conclude that in the soil mass there are so-called equidistant zones, which are characterized by the fact that the values of the safety margins calculated for the sliding or abutment surfaces located inside these zones for each specific object either coincide, or differ from each other very slightly. This circumstance leads to the fact that the process of sliding (sliding) of the ground mass, if a landslide process is considered, or the soil is burst out from under the foundation when the question of determining the bearing capacity of the foundation of the structure is considered, does not take place on the so-called fracture surface, but passes to the limiting state a certain layer of soil, inside of which there is the most likely surface of sliding or abutment. Based on a comparison of the results of the calculations, it is concluded that it is necessary to conduct an operation to find the orientation angles of the fracture sites based on the analysis of the stress-strain state of the soil mass taking into account the physicomechanical properties of the composing soil.

# Full Text

При решении задач об устойчивости грунтовых массивов (естественных склонов, откосов выемок и насыпей, оснований сооружений и т.д.) возникает необходимость построения наиболее вероятной или, как ее еще называют, наиболее опасной (экстремальной) поверхности скольжения (НВПС) или выпора (НВПВ) грунта. Если задача решается в плоской постановке, то речь идет о следах этих поверхностей, которые, как это принято в инженерной практике, называют наиболее вероятными линиями скольжения или выпора грунта. Местоположение и форма этих линий зависят от геометрии грунтового массива, его напряженного состояния и физико-механических свойств грунта, его слагающего. Перечисленные выше факторы функционально определяют численное значение угла ориентации площадок наиболее вероятного сдвига в точках исследуемой области. Под наиболее вероятной площадкой сдвига будем понимать одну из множества возможных площадок сдвига в каждой точке рассматриваемого грунтового массива, величина расчетного коэффициента запаса устойчивости для которой Kt = Kt min. Если Kt min > 1, то точка находится в допредельном состоянии, если Kt min = 1 - в предельном. Если при расчете используются методы, предполагающие какую-то определенную форму НВЛВ (например, методы, основанные на гипотезе о круглоцилиндрической форме поверхности скольжения [1-8]), то нет необходимости определять ориентацию площадки наиболее вероятного сдвига (угол aэкст). В этом случае наиболее вероятная линия разрушения определяется подбором, как линия, для которой расчетная величина коэффициента запаса устойчивости грунтового массива K = Kmin. Если в качестве расчетных выбираются вариационные методы [9-12], то в процедуре отыскания значения угола aэкст также нет необходимости, так как соответствующая экстремаль отыскивается с помощью варьирования формы и положения линий скольжения. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не отыскивается линия, для которой K = Kmin. Как видно, оба этих подхода не позволяют с первого раза однозначно построить экстремаль и определить искомое значение коэффициента запаса устойчивости. Этот недостаток может быть устранен, если для решения задачи об устойчивости грунтового массива использовать методы, основанные на численном [13-18] или аналитическом [19-23] анализе напряженного состояния исследуемых областей. Использование этих методов позволяет сразу и однозначно определить величину угла ориентации площадки наиболее вероятного сдвига. Рассмотрим три подхода к решению задачи о нахождении угла ориентации наиболее вероятной площадки сдвига в точке грунтового массива, которые основаны на анализе напряженного состояния исследуемой области: 1. Способ отыскания угла aэкстр, предложенный В.К. Цветковым [19] Известно [1], что величина коэффициента запаса устойчивости в точке грунтового массива Kt определяется выражением, полученным на основании условия прочности Кулона [24]: . (1) Если заменить напряжения sn и tn в формуле (1) напряжениями sy, sx, txy, получим выражение . (2) Очевидно, что условиями минимизации величины Kt по параметру α будут (3) Выполнение первого из условий (3) сводится к решению квадратного уравнения, корни которого определяются по формуле , (4) где (5) (6) Выбирать из двух полученных углов следует тот, при подстановке значения которого во второе условие (3.21) будет выполняться неравенство (7) Оказалось, что величина угла a, при котором значение коэффициента устойчивости в рассматриваемой точке Kt = Ktmin, соответствует знаку «+» перед радикалом в формуле (4). Из формул (4)-(7) следует, что угол aэкстр является функцией напряженного состояния, физико-механических свойств и характерного размера грунтового массива (в случае откоса это h - его высота). На рис. 1 приведены графические зависимости величины коэффициента устойчивости Kt в точке грунтового массива по наклонной площадке, угол наклона которой изменяется от 0 до 90°. Величины безразмерных (в долях γh) напряжений в точке приоткосной области определены методом конечных элементов [25, 26]: sx = 1,3; sy = 5,6; txy = 2, а физико-механические свойства грунта таковы, что давление связности sсв = 1,4, а угол внутреннего трения j = 28,6°. Рис. 1. Графическая зависимость вида Kt = f (a) Fig. 1. Graphic of the form Kt = f (a) Из рис. 1 видно, что экстремальное значение Kt соответствует величине aэкстр = 42°, определенной на основе исследования выражения (2) на экстремум. Величина коэффициента запаса устойчивости в рассматриваемой точке Kt = 1,08. 2. Способ отыскания угла aэкстр, предложенный А.Н. Богомоловым и основанный на использовании понятия остаточного сопротивления сдвигу [20, 21] Рассмотрим еще один способ определения угла наиболее вероятного сдвига, для чего составим выражение , (8) где fост - остаточное сопротивление сдвигу [20, 21]. Выразив нормальное и касательное напряжения, действующие по наклонной площадке, через компоненты напряжения sy, sx, txy и угол ее наклона a, подставив их в выражение (8), а затем применив к полученному выражению условия (3), найдем величину угла наклона площадки, которому соответствует минимальное значение величины остаточного сопротивления сдвигу fостmin. При вычислениях используем те же значения напряжений и физико-механических свойств грунта, что указаны в предыдущем примере. На рис. 2 приведены кривые зависимостей величины коэффициента запаса устойчивости Kt, остаточного сопротивления сдвигу fост, удерживающих fуд и сдвигающих fсд сил, вычисленных в исследуемой точке приоткосной области. При этом величина угла ориентации площадки наиболее вероятного сдвига изменяется в интервале α Î [0°; 90°]. Рис. 2. Графические зависимости вида Kt = f (aэкстр); fост = f (aэкстр); fуд = f (aэкстр) и fсд = f (aэкстр) для рассматриваемой точки приоткосной области Fig. 2. Graphic dependencies of the form Kt = f (aэкстр); fост = f (aэкстр); fуд = f (aэкстр) and fсд = f (aэкстр) for the considered point of the abutment region Из рис. 2, иллюстрирующего результаты проведенных вычислений, видно, что минимум значения остаточного сопротивления сдвигу fост соответствует площадке, ориентированной к оси абсцисс под углом aэкстр = 31°. Отметим, что данное значение на 11° меньше значения угла aэкстр, определенного первым способом, разница составляет 24 %. Однако значения соответствующих коэффициентов запаса устойчивости Kt для первого (Kt = 1,08) и второго (Kt = 1,044) способов, вычисленных по формуле (2), отличаются менее чем на 4 %. Последнее обстоятельство подтверждает обоснованное в работах [19-21] положение о том, что в приоткосных грунтовых массивах, активных зонах фундаментов и т.д. имеются так называемые равноустойчивые области, которые характеризуются тем, что величины коэффициентов запаса устойчивости, вычисленные для поверхностей скольжения или выпора, расположенных внутри этих зон, для каждого конкретного объекта, либо совпадают, либо отличатся друг от друга весьма незначительно. Это обусловливает то, что процесс скольжения (сползания) грунтовой массы, если рассматривается оползневой процесс, или выпора грунта из-под фундамента, когда рассматривается вопрос об определении несущей способность основания сооружения, происходит не по так называемой поверхности разрушения - в предельное состояние переходит некая прослойка грунта, внутри которой располагается наиболее вероятная поверхность скольжения или выпора. 3. Способ, основанный на использовании диаграмм сдвига (кругов Мора) [22, 23] Известно, что нормальное sn и касательное τn напряжения, действующие в направлениях главных осей, могут быть выражены через соответствующие главные напряжения следующим образом: (9) (10) На рис. 3 в качестве примера представлены геометрическая интерпретация соотношения (9) в системе координат (s; t) и соответствующие круги Мора. а б Рис. 3. Круги Мора для предельного (а) и допредельного (б) состояния в точке грунтового массива Fig. 3. Mora circles for the limiting (a) and prelimiting (b) state at the point of the soil massif Величина коэффициента запаса устойчивости в точке грунтового массива определяется отношением (11) В предельном состоянии эта величина равна единице и растет по мере снижения нагрузки. При Kt ³ 1 нагрузка меньше критической для всех углов a. Поэтому величину Kt можно называть коэффициентом запаса устойчивости грунта в точке. Линия, в каждой точке которой выполняется равенство Kt = 1, также является границей области предельного состояния грунта. Числитель выражения (11) определен прочностными свойствами грунта, а знаменатель - фактическими напряжениями, действующими в рассматриваемой точке, и физико-механическими свойствами грунтового массива. В допредельном состоянии так как PK < BK. По мере роста напряжений (нагрузки) угол увеличивается. При достижении предельного напряженного состояния (рис. 3, а) выполняются условия PK = BK и , вытекающие из выражения (10). Отрезок KВ указывает направление максимального касательного напряжения в момент достижения предельного напряженного состояния. Из рис. 3, б видно, что в предельном состоянии ÐАKВ = ÐAKN = соответственно. Обозначив через a угол, составляемый направлением и направлением максимального касательного напряжения , получим или (12) Угол a не зависит от того, при каких значениях главных напряжений s1 и s2 наступает предельное состояние. Авторы работ [19, 20] считают, что выражение для определения величины угла a справедливо не только для критической, но и для любых, меньших по величине нагрузок. Это означает, что для площадки, ориентированной под углом a, разность между удерживающей и сдвигающей силами будет заведомо меньше, чем для любой другой площадки, угол ориентации которой b ¹ a. Угол отклонения направления действия напряжения от оси x расчетной схемы равен углу определяемому по формуле . (13) Таким образом, угол наклона вектора максимального касательного напряжения tmax, а значит, и площадки наиболее вероятного сдвига относительно оси X расчетной схемы . (14) Вычисленное по формуле (14) значение угла Q используется, например, в работах [20, 21] для построения наиболее вероятной линии скольжения. Анализ этого выражения показывает, что величина угла ориентации площадки наиболее вероятного сдвига является функцией напряженного состояния и угла внутреннего трения. В результате выполненных вычислений по формуле (14), при численных значениях напряжений в исследуемой точке, которые использованы в двух предыдущих примерах, определены два значения угла ориентации площадки наиболее вероятного сдвига: aэкстр1 = 11° и aэкстр2 = 74°. При сравнении полученных значений углов ориентации наиболее вероятной площадки сдвига с численными значениями соответствующих углов, полученных в первых двух случаях, видно, что разница составляет 2-3 раза. Кроме того, из графиков, приведенных на рис. 1, 2, видно, что при углах aэкстр1 = 11° и aэкстр2 = 74° численные значения коэффициентов запаса устойчивости Kt в рассматриваемой точке грунтового массива существенно больше, чем при aэкстр = 42° (первый случай) и aэкстр = 31° (второй случай). На основании результатов проведенных исследований можно утверждать следующее: 1. В приоткосных грунтовых массивах, активных зонах фундаментов и т.д. имеются так называемые равноустойчивые области, которые характеризуются тем, что величины коэффициентов запаса устойчивости, вычисленные для поверхностей скольжения или выпора, расположенных внутри этих зон, для каждого конкретного объекта либо совпадают, либо отличатся друг от друга весьма незначительно. 2. Отыскание угла ориентации площадки наиболее вероятного сдвига следует проводить на основе анализа напряженного состояния грунтового массива с учетом физико-механических свойств грунта, например, методами, изложенными в [19-21].

### A. V Zhidelev

Moscow Aviation Institute

# References

1. Феллениус В. Статика грунтов. - М.: Стройиздат, 1933. - 50 с.
2. Fellenius W. Calculation of the stability of earth dams // Transactions of II Congress on Large Dams. - 1933. - Vol. 4. - P. 445-462.
3. Cagout G. Eguilibre des massifs a frottemenet interne. - Paris, 1934.
4. Bogomolov A., Ponomaryov A., Bogomolova O. Assessment of slope stability on the basis of soil mass stress state analysis // ICSMGE 2017. 19th International Conference on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering. (2017-September). - 2017. - Р. 2095-2098.
5. Tscytbatarioff G. Foundations, retaining and earth structures. - New York: McCraw-Hill Book Company, 1973.
6. Fredlund D.G., Krahn J. Comparison of slope stability methods of analysis // Can. Geotechn. J. - 1977. - № 3.
7. Hovland H.J. Three-dimensional slope stability analysis method // J. Geotechn. Eng. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. - 1977. - № 9.
8. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. - М.; Л.: АН СССР, 1942.
9. Azzous A.S., Baligh M.M. Loaded areas on cohesive slopes // J. of Geotechn. Engineering. - 1983. - No. 5, vol. 109.
10. Магдеев У.Х., Ниязов Р.А. Применение вариационного метода при расчете устойчивости оползневых склонов в лессовых породах (на примере Саукбулаксая) // Геодинамические процессы и явления Средней Азии. - Ташкент, 1973.
11. Гольдштейн М.Н. Вариационный метод решения задач об устойчивости грунтов // Вопросы геотехникн: тр. ДИИТ. - Киев, 1969. - № 16.
12. Дорфман А.Г. Вариационный метод исследования устойчивости откосов // Вопросы геотехники: сб. науч. тр. - М.: Транспорт, 1965. - № 9.
13. Nakoto S., Kiyoshi J. Probabilistic finite element method for Slopes stfbility analysis // Proc. Jap., Soc. Civil Enginttring. - 1985. - № 364.
14. Wang F.D., Sun M.C., Ropchan D.M. Compyter program for pit slope stability analysis bee the finite element stress analysis and limiting equilibrium Method // RJ 7685. Burin of Mints, 1972.
15. Desai C.S., Lightner J.G. Mixed fenite element procedure for Soil-Structure iteraction and construction seguences// Inter. J. for Numerical Mhetods in Engineering. - 1985. - No. 5, vol. 21.
16. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. - М.: Недра, 1987.
17. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979.
18. Амусин Б.З., Фадеев А.Б. Применение метода конечных элементов при решении задач горной механики. - М.: Недра, 1975.
19. Цветков В.К. Расчет рациональных параметров горных выработок. - М.: Недра, 1993. - 251 с.
20. Богомолов А.Н. Расчет несущей способности оснований сооружений и устойчивости грунтовых массивов в упругопластической постановке / Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 1996.
21. Богомолов А.Н., Ушаков А.Н. Методы теории функций комплексного переменного в задачах геомеханики. - Волгоград: ВолгГАСУ: Изд-во ВГСПУ «Перемена», 2014. - 227 с.
22. Соловьев Ю.И. Устойчивость откосов из гипотетического грунта // Труды НИИЖТ, 1962, вып. 28.
23. Никитин С.Н. Построение ожидаемой поверхности скольжения по напряжения в бортах карьеров // Уголь. - 1962. - № 1.
24. Coulomb C. Application des riles de maxim us et minims a quelques problems de statique relatives an Larchitecture. - Memories de savants strangers de LAcademlie des sciences de Paris, 1773.
25. FEA: св-во о гос. рег. программы для ЭВМ № 2015617889 / А.Н. Богомолов [и др.]. Зарег. 23 июля 2015 г.
26. Устойчивость (напряженно-деформированное состояние): св-во о гос. рег. программы для ЭВМ № 2009613499 / А.Н. Богомолов [и др.]. Зарег. 30 июня 2009 г.

# Statistics

#### Views

Abstract - 720

PDF (Russian) - 291

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Bogomolova O.A., Zhidelev A.V.