Прикладная математика и вопросы управления

Рассматривается одна задача оптимального управления с распределенными параметрами типа Москаленко с многоточечным функционалом качества. К настоящему времени теория необходимых условий оптимальности первого порядка типа принципа максимума Понтрягина или же его следствий достаточно полно разработана для различных задач оптимального управления, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, т.е. для задач оптимального управления с сосредоточенными параметрами. Многие управляемые процессы описываются различными уравнениями в частных производных (процессы с распределенными параметрами). Задачам оптимального управления с распределенными параметрами присущи некоторые особенности и поэтому при исследовании задачи оптимального управления с распределенными параметрами, в частности при выводе различных необходимых условий оптимальности, возникают нетривиальные трудности. В частности, при исследовании случаев вырождения установленных необходимых условий оптимальности возникают принципиальные трудности. Исследуется одна задача оптимального управления, описываемая системой уравнений в частных производных первого порядка с управляемым начальным условием, при предположении, что начальная функция является решением задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Целевая функция (критерия качества) является многоточечной, поэтому возникает необходимость во введении нетрадиционного сопряженного уравнения не в дифференциальной (классической), а в интегральной форме. С использованием одного варианта метода приращений и способа явной линеаризации исходной системы доказано необходимое условие оптимальности в форме аналога принципа максимума Л.С. Понтрягина. Известно, что принцип максимума Л.С. Понтрягина для различных задач оптимального управления является самым сильным необходимым условием оптимальности. Но принцип максимума Л.С. Понтрягина, являясь необходимым условием первого порядка, нередко вырождается. Такие случаи принято называть особыми, а соответствующие управления - особыми управлениями. Исходя из этих соображений в рассматриваемой задаче исследуется случай вырождения принципа максимума Л.С. Понтрягина для рассматриваемой задачи. С этой целью выведена формула приращения функционала качества второго порядка. Введя вспомогательные матричные функции, удалось получить формулу приращения второго порядка, носящую конструктивный характер. Доказано необходимое условие оптимальности особых, в смысле принципа максимума Л.С. Понтрягина, управлений. Доказанные необходимые условия оптимальности носят явный характер.

При построении регрессионной модели первоочередной проблемой, с которой сталкивается исследователь, является то, что непонятно, каким именно должно быть уравнение связи между объясняемой и объясняющими переменными. Этот начальный этап построения называется выбором структурной спецификации модели. При выборе спецификации регрессии параллельно возникает вопрос о том, какие именно объясняющие переменные должны быть включены в уравнение. Эта проблема называется задачей отбора информативных регрессоров. Ее суть состоит в том, чтобы выделить из множества «кандидатов» на включение подмножества наиболее информативных из них на основе некоторого критерия качества. Посвящена проблеме отбора информативных регрессоров в регрессионных моделях, оцениваемых с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрен предложенный ранее подход к отбору заданного числа информативных регрессоров, основанный на задаче частично булевого линейного программирования. Неизвестными параметрами в этой задаче выступают бета-коэффициенты стандартизованной регрессии, а также булевы переменные, отвечающие за вхождение факторов в модель. Оптимальные значения неизвестных параметров находятся на основе максимизации значения коэффициента детерминации регрессии. К сожалению, для решения рассматриваемой задачи требуется вручную задавать количество отбираемых факторов, которое часто бывает невозможно определить заранее. Исходя из этого была поставлена цель формализовать задачу так, чтобы в результате ее решения определялось еще и оптимальное количество отбираемых регрессоров. Для этого в качестве целевой функции был использован скорректированный коэффициент детерминации, зависящий от количества факторов модели. В результате была сформулирована задача частично целочисленного линейного программирования. Неизвестными параметрами в ней по-прежнему выступают бета-коэффициенты и булевы переменные, а также целочисленная переменная - количество регрессоров. На основе данных о ценах и характеристиках седанов и хэтчбеков американской автомобильной промышленности проведен вычислительный эксперимент, подтверждающий корректность разработанного математического аппарата. Формализованная в работе проблема в виде задачи частично целочисленного линейного программирования выглядит предпочтительнее с вычислительной точки зрения, чем та же проблема, формализованная в настоящее время в современной научной литературе в виде задачи частично квадратичного линейного программирования.

Современные системы управления активно используют встроенные математические модели объекта для реализации целевых функций и параметров управления, которые не могут быть получены прямым измерением, в частности эмиссии вредных веществ (окислов азота и углерода). В качестве виртуального сенсора эмиссии оксидов азота малоэмиссионной камеры сгорания, пригодного для встраивания в структуру регулятора, рассматривается два варианта. Первый вариант - это стохастическая нелинейная математическая модель генерации окислов азота на базе уравнения Зельдовича. Особенностью представленной математической модели является применение принципа суперпозиции генерации окислов азота в диффузионном и гомогенном факелах. Функции распределения плотности вероятности концентрации топливовоздушной смеси в этих факелах учитывают как пространственную неоднородность состава смеси, так и гармоническую составляющую от акустических волн, генерируемых теплоподводом. Представленная концепция математической модели в виде интегральных соотношений сформирована на основе результатов численного моделирования пространственной и временной неоднородностей концентрации топливовоздушной смеси на 4D-метамодели и имеющихся экспериментальных данных. Второй вариант основан на применении технологии нейронных сетей. Представлен пример разработанной нейронной сети и результаты ее обучения на реальной малоэмиссионной камере сгорания. Показано, что двух- или трехслойная нейронная сеть с количеством нейронов 20-30 обеспечивает достаточную погрешность (не более 10 %) отображения эмиссии оксидов азота и может быть использована как виртуальный сенсор эмиссии в системе управления двигателем. В качестве целевой функции (критерия) управления малоэмиссионной камерой сгорания авиационного газотурбинного двигателя рассматривается нормируемый уровень эмиссии оксидов азота за цикл взлет-посадка. Для оценки уровня эмиссии NO X предлагается встроенный виртуальный датчик.

Новые информационные технологии проникают во все сферы современной экономики, включая организации высшего образования. Рассмотрены пути совершенствования процесса управления образовательной деятельностью высшего учебного заведения. Отмечено, что для повышения качества подготовки специалистов целесообразно провести реорганизацию системы управления образовательным процессом вуза. Ставится актуальная задача построения целостной модели системы управления образовательным учреждением. В рамках рассмотрения теоретических аспектов даны определения понятий «система» и «модель системы», а также указано, для чего разрабатывают модель системы и что она описывает. Приведена общая структура модели системы управления образовательной деятельностью вуза, включающая в себя основные подсистемы: «Планирование образовательного процесса», «Управление образовательным процессом», «Контроль за ходом образовательного процесса», включающие в себя процессы и подпроцессы. Результаты данного исследования представлены в виде таблицы. Рассматриваются теоретические аспекты нотации IDEF0 методологии SADT, обосновывается целесообразность применения данной методологии для создания функциональной модели образовательного процесса высшего учебного заведения. Показаны основные достоинства названной методологии, аргументирована рациональность использования IDEF0-моделирования для проведения комплексного (структурно-функционального) анализа системы управления учебным процессом образовательного учреждения. Определена структура системы, приведены функциональные диаграммы основных бизнес-процессов управления образовательной деятельностью вуза. Представленные функциональные модели отображают структуру и функции системы, а также потоки информации и материальных объектов, преобразуемые этими функциями. Отмечено, что целью построения функциональной модели управления образовательной деятельностью является анализ бизнес-процессов высшего учебного заведения, входящих в комплекс управленческих задач, стоящих перед руководством вуза, поэтому модель построена с точки зрения ректората. Представлена разработанная функциональная модель подсистемы «Планирование образовательного процесса», включающая в себя диаграммы нескольких уровней. Диаграмма верхнего уровня - контекстная диаграмма - детализируется дочерними диаграммами, содержащими подпроцессы, функции и конкретные процедуры, а также входящие и исходящие потоки данных, управляющую информацию и ресурсы. Представлен комплексный подход к исследованию системы «Управление образовательной деятельностью вуза». Показано, что изучение существующих проблем позволяет определить основные направления совершенствования ключевых процессов управления образовательной деятельностью учреждения, оптимизировать переход от «лоскутной» информатизации вуза к комплексному управлению всей системой как единым целым.

Дается обзор теоретических и прикладных результатов, полученных в рамках научного направления по эконофизике на кафедре информационных систем и математических методов в экономике. В первой части дано понятие финансового пузыря и методы его поиска. В начале статьи дано развитие эконофизики, поэтому эконофизика, используя как образец исследования физиков, должна начинать свои исследования не с верхних этажей экономического здания (в виде финансовых рынков, распределения доходности финансовых активов и т.п.), а с ее фундаментальных оснований или, говоря словами физиков, с элементарных экономических объектов и форм их движения (труда, его производительности и т.д). Только таким образом эконофизика может обрести свой предмет исследования и стать «новой формой экономической теории». Дальше рассмотрены основные предпосылки моделей финансовых пузырей на рынке: принцип отсутствия арбитражных возможностей, существование рациональных агентов, модели, управляемой риском, и модели, управляемой ценой. Была предложена известная нелинейная LPPL-модель (Log Periodic Power Law Model). В работах В.О. Арбузова было предложено использовать процедуры выбора моделей, а именно были введены: основная селекция, фильтрация «стационарности», спектральный анализ. Результаты модели были представлены в работах Д. Сорнетт и его учеников. Во второй части дается понятие перколяции и возможности ее применения в экономике. Будет рассмотрена математическая модель, предложенная J.P. Bouchaud, D. Stauffer и D. Sornette, воссоздающая поведение агента на рынке, и ее взаимодействие, геометрически описывающее фазовый переход второго рода. В данной модели цена актива за один временной интервал изменяется пропорционально разнице между спросом и предложением на этом рынке. Полученные результаты опубликованы в работах А.А. Бячковой, Б.И. Мызниковой и А.А. Симонова. Существует два вида фазового перехода: переход первого и второго рода. При фазовом переходе первого рода скачкообразно изменяются самые главные, первичные экстенсивные параметры: удельный объем, количество запасенной внутренней энергии, концентрация компонентов и прочие показатели. Следует заметить, что имеется в виду скачкообразное изменение этих величин при изменении температуры, давления, а не скачкообразное изменение во времени. Наиболее распространенные примеры фазовых переходов первого рода: плавление и кристаллизация, испарение и конденсация. При фазовом переходе второго рода плотность и внутренняя энергия не меняются. Скачок же испытывают их производные по температуре и давлению: теплоемкость, коэффициент теплового расширения или различные восприимчивости. Фазовые переходы второго рода происходят в тех случаях, когда меняется симметрия строения вещества: она может полностью исчезнуть или понизиться. Для количественной характеристики симметрии при фазовом переходе второго рода вводится параметр порядка, пробегающий отличные от нуля значения в фазе с большей симметрией и тождественно равный нулю в неупорядоченной фазе. Таким образом, перколяцию мы можем рассматривать как фазовый переход второго рода, по аналогии с переходом парамагнетиков в состояние ферромагнетиков. Порог перколяции, или критическая концентрация разделяет две фазы перколяционной решетки: в одной фазе существуют конечные кластеры, в другой фазе существует один бесконечный кластер. Ключевой ситуацией для изучения является момент образования бесконечного кластера на перколяционной решетке, так как это означает крах рынка, когда подавляющая для данного рынка часть агентов имеют схожие мнения насчет своих действий по покупке или продаже актива. Основными характеристиками процесса являются пороговая вероятность наступления краха рынка, а также эмпирическая функция распределения изменения цены на данном рынке.