Прикладная математика и вопросы управления

Реализация задач с использованием метода конечных элементов (МКЭ) связана, в первую очередь, с правильным подбором порядка аппроксимации функций формы, моделей поведения материалов, анализом характера сопряжения и выбором методик реализации. Выбор параметров численного решения влияет на вычислительные процедуры. Решается задача о подборе параметров МКЭ и методов ее реализации, позволяющая получить рациональное соотношение времени счета и качества решения. Симплекс-элементы обладают функциями формы с линейными зависимостями от координат. Реализация МКЭ с использованием симплекс-элементов зарекомендовала себя за последние десятилетия. При этом можно отметить неточности описания криволинейных границ объектов исследования, что может вносить дополнительные неточности в численное решение задачи. Элементы второго порядка позволят описывать криволинейные границы, но требуют больших затрат вычислительных мощностей, особенно при нелинейных задачах механики. Развитие численных прикладных программных пакетов с использованием сеточных методов и ресурсов вычислительной техники на настоящий момент позволяет оценивать влияния степени аппроксимации МКЭ на решение задачи. В рамках исследования установлено, что в точке первоначального контакта «сталь - полимер» наблюдается увеличение погрешности численного решения. Для анализа влияния порядка аппроксимации МКЭ на численное решение задачи рассмотрены элементы 1-го и 2-го порядка. Исследование выполнено в рамках классической задачи Герца. Помимо этого, для задачи о контакте сферического штампа со стальным полупространством через защитное полимерное покрытие толщиной от 4 до 12 мм проведено исследование полученных решений при моделировании разных характеров сопряжения контактных поверхностей. Выявлено, что наименьшее влияние порядок элементов оказывает на решение задачи при идеальном контакте, наибольшее при фрикционном контакте.

Построение математических моделей является важной составляющей разработки цифровых продуктов в различных отраслях промышленности, медицине, геологии, строительстве, финансовой сфере и других областях. Моделирование позволяет оптимизировать производственные процессы, выявлять закономерности, прогнозировать временные ряды, классифицировать объекты и строить регрессии. Квантильные регрессионные модели являются обобщением медианной регрессии и могут быть использованы для углубленного исследования данных. Квантильный анализ включает в себя оценку параметров модели и определение квантильных значений зависимой переменной для заданных значений независимой переменной. Для этого используется минимизация функции потерь, исходя из квантильных значений. В отличие от метода наименьших квадратов, квантильная регрессия позволяет более точно предсказывать значения зависимой переменной при изменении значений независимой переменной. То есть квантильная регрессия более робастна. Она может быть использована для решения многих задач в разных областях науки и бизнеса, где необходимо более точно предсказывать значения зависимой переменной в изменяющихся условиях. Натуральный градиентный спуск является эффективным методом для построения регрессии и имеет более высокую скорость сходимости по сравнению с классическим алгоритмом. Однако на практике данный метод является достаточно сложным с вычислительной точки зрения, так как требует вычисления второй производной. Особенно остро данная проблема возникает при обучении нейронных сетей, где число параметров гораздо выше, чем при построении классических регрессионных моделей. Исследование методов построения регрессии и применение численных методов представляет практический и научный интерес. В данной работе будет рассмотрена квантильная регрессия, натуральный градиентный спуск и их сочетание для построения математических моделей. Градиентный спуск является одним из наиболее популярных методов оптимизации и широко используется в машинном обучении. Натуральный градиентный спуск является предпочтительным методом, поскольку он эффективнее и имеет высокую скорость сходимости. Кроме того, данный метод менее уязвим к попаданию в локальные минимумы и обеспечивает более точную оценку параметров модели. Однако на практике этот метод сложен с вычислительной точки зрения, так как требует вычисления второй производной. В статье представлен алгоритм построения модели с использованием натурального градиентного спуска. Суть применения квантильной регрессии в натуральном градиентном спуске заключается в том, чтобы использовать квантильную оценку функции потерь вместо традиционной оценки, которая применяется в методе наименьших квадратов. Это позволяет учитывать не только среднее значение зависимой переменной, но и более экстремальные значения (например, медиану, 25%-ный процентиль, 95%-ный процентиль и т.д.) при построении модели. Также было проведено сравнение полученного метода с другими популярными методами градиентного спуска с поддержкой квантильной регрессии на открытых наборах данных различной размерности как с точки зрения количества факторов, так и с точки зрения количества наблюдений. Кроме того, будут обсуждаться возможности дальнейшего развития и оптимизации данного метода.

Предложена структурная модель системы поддержки принятия решения (СППР) для управления линией непрерывной вулканизации изоляции кабеля. СППР базируется на математической модели технологического процесса непрерывной вулканизации изоляции кабеля, базы данных, алгоритма коррекции режима. СППР позволит оперативно разработать новый режим в случае применения новых материалов или конструкций, а также корректировать текущий режим при внеплановых изменениях в ходе процесса производства. Ядром СППР является предложенная математическая модель, которая основана на законах сохранения и представлена в виде системы дифференциальных уравнений, замкнутых граничными условиями. Процесс вулканизации описан с учетом температурно-временной зависимости кинетических параметров, что позволило учесть неравномерность нагрева заготовки как в радиальном направлении, так и по длине. Численная реализация дифференциальной математической модели позволила провести системный анализ характера процессов в вулканизационной трубе и оценить влияние различных технологических, конструктивных и материальных параметров на степень завершенности вулканизации изоляции кабеля. В результате анализа выделены значимые параметры, существенно влияющие на степень завершенности процесса вулканизации. На основе полученных численных результатов построены технологические поверхности зависимости технологических параметров от геометрии изделия и свойств используемых материалов, предложена регрессионная математическая модель, которая позволяет определить значения управляющих параметров процесса, не прибегая к использованию математической модели. На основе результатов анализа предложен алгоритм коррекции технологического режима, учитывающий лишь значимые параметры процесса. Предложенный алгоритм позволяет корректировать величину скорости изолирования в зависимости от внешних воздействий и отклонений от заданных параметров. Результаты исследования могут быть использованы при производстве кабельно-проводниковой продукции с вулканизируемой изоляцией, когда необходимо оперативно выбрать технологический режим с учетом изменения в конструкции кабеля, свойств материала изоляции, а также возможные отклонения давления внутри вулканизационной трубы.

Выделяется класс конечномерных систем нелинейных дифференциальных уравнений, для которых существует способ представить точное аналитическое решение в виде квадратур. Частный случай системы выделенного класса применяется в качестве набора ограничений типа равенств для задачи оптимального управления замкнутым конечномерным рынком труда с общим коэффициентом селекции - параметром управления исследуемой системой. Уточняются определения квалификационных категорий субъектов рынка труда с учетом физического смысла их поведения в исследуемой системе. Вводятся коэффициенты качества удовлетворения спроса на труд, представляющие собой усредненную разность между оплатой труда и доходом от деятельности субъектов каждой их трех квалификационных категорий. Вводится функция качества управления системой рынка труда, представляющая собой сумму произведений функций долей субъектов каждой из трех квалификационных категорий на их коэффициенты качества. Рассматриваются рынки труда с различными соотношениями коэффициентов качества. Показано, что случай, когда коэффициент качества субъектов низкой квалификационной категории выше коэффициента качества субъектов высокой квалификационной категории, противоречит физическому смыслу модели. Для каждой рассматриваемой системы рынка труда построены графики функции качества от параметров управления. Приведены примеры реальных рынков труда для каждого физически допустимого соотношения коэффициентов качества. Показано, что оптимальное управление системой рынка труда не обязательно означает устремление параметра управления к его крайним значениям. Построен график функции качества управления реально существующего рынка труда с градообразующим предприятием, в качестве которого выбран рынок труда пос. Сылва Пермского края, и определены оптимальные значения параметров управления.

Произведена полноценная эмпирическая проверка новейшей методологии в области рекурсивных процедур выявления и датирования рыночную пузырей - GSADF-теста. Использование предыдущих итераций рекурсивных тестов не позволяло с высокой точностью определить наличие рыночного пузыря на ранних стадиях его формирования. Результаты данного исследования доказывают, что GSADF-тест с использованием скользящего окна значительно улучшает дискриминационную способность рекурсивных тестов, благодаря чему на ранних стадиях формирования удалось обнаружить такие эпизоды коллапса фондового рынка, как Японский экономический пузырь 1986-1991 гг. и пузырь «дот-комов» в США в 1995-2001 гг. Тестирование на основе текущих рыночных данных демонстрирует формирование рыночного пузыря в фондовом индексе NASDAQ c августа 2020 г.