В работе впервые строится асимптотическим методом решение контактной задачи о действии с трением жесткого штампа в форме полуполосы на анизотропный многослойный композитный материал. В качестве параметра, который определяет асимптотическое разложение, принята ширина полуполосы. Метод основан на обобщении подхода построения асимптотических решений для более простых контактных задач. Ранее был развит асимптотический метод для решения контактной задачи в случае полосового в плане штампа большой относительной ширины. Метод оказался эффективным, поскольку обеспечил удовлетворительное сопряжение с решением, построенным встречным асимптотическим разложением для штампов в форме полосы малой ширины. В настоящей работе он применен в значительно более сложной и, не решенной ранее, контактной задаче для штампа в форме полубесконечной полосы. Сложность этой задачи состоит в том, что для применения асимптотического подхода необходимо было разработать метод решения двумерных уравнений Винера-Хопфа, что накануне было выполнено авторами и применяется в настоящей работе. Рассматриваемые задачи возникают в инженерной практике и строительстве при создании различных объектов, при разработке элементной базы электроники, в сейсмологии, при оценке состояния сейсмичности в зоне перехода горной гряды в равнину. Существующими численными методами удается описывать концентрацию контактных напряжений на границе штампа, и особенно, в угловых точках границы, где имеют место наиболее уязвимые части конструкции. Однако построить полное решение о распределении контактных напряжений под полуполосовым штампом вместе с особенностями на границе, не удается, в связи с неограниченностью области. В работе построено решение, правильно отражающее реальное распределение контактных напряжений под штампом и стремящееся к точному решению при возрастании параметра ширины полосы.

Рассматривается трещиноподобный дефект в виде физического разреза с характерной толщиной в линейно упругой среде. Толщина физического разреза рассматривается в качестве линейного параметра. Для внешней нагрузки методом конечных элементов определено напряженно-деформированное состояние окрестности физического разреза, допускающее отличные от нуля вектора напряжений на свободной поверхности. На основе термомеханического соотношения определена энергетическая характеристика типа J-интеграла, включающая вектора напряжений на свободной поверхности окрестности трещиноподобного дефекта, в виде трех аддитивных интегральных слагаемых. Выделена часть энергетической характеристики на торцевой поверхности физического разреза и слагаемые на сопрягаемых к торцу берегах. На основе решения в конечно-элементном комплексе ANSYS для физического разреза и модели представления среды на продолжении физического разреза в виде слоя с однородным по толщине распределением напряженно-деформированного состояния решены задачи нагружения физического разреза нормальным разрывом и поперечным сдвигом. Проведено сравнение энергетической характеристики при стремлении линейного параметра к нулевому значению к значениям J-интеграла для представления трещины в виде математического разреза. Получено соответствие значения J-интеграла для математического разреза рассмотренной энергетической характеристики при относительно малом значении линейного параметра. При этом ее часть на торцевой поверхности, в зависимости от рассматриваемой модели, составляет более шестидесяти процентов. Для физического разреза с использованием модели слоя показана близость исследуемой характеристики к значению J-интеграла для математического разреза при существенно меньшем значении модуля упругости материала слоя по отношению к основной среде. При этом влияние не торцевых слагаемых энергетической характеристики уменьшается.

Появление «щелевых состояний» на различных масштабах, представляющих собой интервалы волновых чисел с нулевыми значениями частот при построении дисперсионных кривых, определяет качественные изменения механизма переноса импульса при взаимодействии коллективных мод в неравновесных «критических» системах. Описание формирования «щелей» или разрывов дисперсионных кривых требует записи дисперсионных соотношений специального вида. Исследование дисперсионных соотношений с разрывом в пространстве импульсов может способствовать установлению универсальных вязкоупругих свойств конденсированных сред при определенных условиях, когда жидкости демонстрируют сдвиговую упругость, а твёрдые тела проявляют способность течь. Основное внимание статьи сосредоточено на обнаружении «щелевых состояний» при анализе дисперсионных соотношений, полученных с использованием вязкоупругих моделей Кельвина-Фойгта, Максвелла, стандартного линейного тела, модели Кельвина-Фойгта с дробной производной. Для получения волновых уравнений, соответствующих представленным моделям, была проведена модификация уравнения упругой поперечной волны в твёрдых телах для учёта вязкости и диссипации. С использованием гипотезы плоской волны определён общий вид дисперсионных уравнений для каждой модели и аналитические (численное) решения для них. Сформулированы критерии качественного изменения вида дисперсионных уравнений, сопровождающегося появлением разрыва в пространстве импульсов (k-пространстве). При рассмотрении классических вязкоупругих моделей построены графики зависимости частоты от волнового числа при различных значениях времён релаксации и ретардации. Подчёркнута феноменологическая значимость дробных моделей для описания механического поведения полимерных, композитных и биологических систем, характеризующихся широким спектром релаксационных механизмов. Для модели Кельвина-Фойгта с дробной производной построено численное решение при различных значениях порядка дробной производной. Показано, что дисперсионные уравнения модели Кельвина-Фойгта с дробной производной и модели стандартного линейного тела при определённых условиях преобразуются в дисперсионные соотношения моделей Кельвина-Фойгта и Максвелла соответственно, что указывает на адекватность полученных соотношений.

Fluid-conveying pipes represent a fundamental dynamic problem within the realm of fluid-structure interaction. They find extensive applications in various industries, including petroleum, nuclear engineering, aviation, aerospace, and nanostructures. This paper applies the Green’s function method to solve the stability problem of a fluid-conveying pipe, hinged at both ends and supported by intermediate linear-elastic supports. The objective is to examine the influence of the number and rigidity of these supports on the critical fluid velocity, which is the velocity at which the pipe loses stability. A numerical solution was performed for a straight pipe conveying fluid with specified geometric and physical characteristics, where the number and rigidity of the elastic supports were considered as parameters. The numerical analysis presented herein includes graphs illustrating the dependence of the critical fluid velocity on the number of elastic supports for varying support rigidities. These results reveal that the elastic supports affect both the vibrational characteristics and the critical velocity of the conveyed fluid. The solution results are compared with those obtained using one of the most widely employed methods for analyzing the dynamic stability of pipe systems (Transfer Matrix Method – TMM). A good agreement between the results is observed. The paper aims at presenting a method for obtaining the exact solution to the differential equation governing the lateral displacements of a pipe system. This paper discusses the authors' perceived pros and cons of the Green's function method in comparison to the most popular methods for the dynamic investigation of fluid-conveying pipes.

Рассмотрена задача о плоской деформации упругой изотропной клиновидной области, ослабленной внутренним дефектом в виде трещины. Границы исследуемой области подкреплены тонким гибким покрытием. Граничные условия, определяющие влияние покрытия, моделируются специальными соотношениями, полученными на основе асимптотического анализа решения задачи для полосы. Адекватность математической модели покрытия проверена серией численных экспериментов в предшествующих исследованиях авторов. Решение задачи проведено методом интегральных преобразований. Преобразование Меллина позволило свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Построено его общее решение. Для определения неизвестных коэффициентов в найденном общем решении получена система линейных алгебраических уравнений. Условие сопряжения на линии расположения трещины позволило получить сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши, характерное для задач об исследовании концентрации напряжений на концах трещины в плоской постановке. Выполнено его численное решение, обеспечивающее возможность расчета значений коэффициентов интенсивности нормальных напряжений на концах трещины. Введено понятие индикатора сдерживающего воздействия покрытия, изучено его поведение для покрытий с различными параметрами, исследовано влияние физических и механических характеристик покрытия: его толщины и жесткости, а также размера трещины, ее расположения относительно угловой точки области, угла раскрытия клиновидной области на раскрытие трещины. Оценка влияния покрытий на напряжённо-деформированное состояние сечений изделий, ослабленных зонами концентрации напряжений, способствует разработке новых конструктивных подходов к структурной составляющей изделий, позволяющих усилить прочность и износостойкость деталей машин и элементов строительных конструкций.