Прикладная математика и вопросы управления

Исследуется задача оценки числа слагаемых случайных величин для суммарного нормального закона распределения или выборочной средней, имеющей нормальное распределение. Центральная предельная теорема позволяет решать многие сложные прикладные задачи, используя развитый математический аппарат нормального распределения вероятностей. В противном случае пришлось бы оперировать свертками распределений, которые в явном виде вычисляются в редких случаях. Целью данной работы является теоретическая оценка числа слагаемых центральной предельной теоремы, необходимых для того, чтобы сумма или выборочная средняя имели нормальный закон распределения вероятностей. Доказаны две теоремы и два следствия из них. Для доказательства теорем использован метод характеристических функций. Первая теорема формулирует условия, при которых средняя выборочная независимых слагаемых будет иметь с заданной точностью нормальный закон распределения. Следствие из первой теоремы определяет нормальное распределение для суммы независимых случайных величин в условиях теоремы 1. Вторая теорема определяет условия нормального распределения для средней выборочной независимых случайных величин, математические ожидания которых попадают в один и тот же интервал, дисперсии также попадают в один и тот же интервал. Следствие из второй теоремы определяет нормальное распределение для суммы независимых случайных величин в условиях теоремы 2. По формульным соотношениям, доказанным в теореме 1, рассчитана таблица необходимого числа слагаемых в центральной предельной теореме для обеспечения заданной точности приближения распределения значений средней выборочной к нормальному закону распределения. Построен график данной зависимости. Зависимость хорошо аппроксимируется полиномом шестой степени. Полученные в статье несложные с точки зрения проведения вычислений соотношения и доказанные теоремы позволяют управлять процессом тестирования для оценки знаний студентов. Они дают возможность определять число экспертов при принятии коллективных решений в экономике и системах организационного управления, проводить оптимальный выборочный контроль качества выпускаемой продукции, осуществлять проведение нужного количества наблюдений и обоснованную диагностику в медицине.

Средствами прикладной математики решаются задачи, относящиеся к области автоматизации и управления технологическими процессами, а именно аналитическое описание суперпозиций вращений, имеющих место при работе многочисленных механизмов. Практический аспект темы определяется тем, что в таких механизмах, как планетарные передачи, приводы фрез в машинах для очистки труб больших диаметров, и тому подобных реализуется суммирование вращательных движений и форма годографа является полезной информацией при проектировании подобных устройств. Предпосылкой рассмотрения является принцип суммирования прямолинейных равномерных движений. Целью работы является определение того, как в подобной ситуации обстоит дело при сложении вращательных синхронных движений . Установлено, что подобно тому, как результатом сложения двух равномерных прямолинейных механических движений является также равномерное прямолинейное движение, результатом сложения двух равномерных однонаправленных круговых движений является также равномерное круговое движение. Годографом при сложении двух равномерных противоположно направленных круговых движений является эллипс. В частном случае эллипс может вырождаться в отрезок прямой линии. При сложении двух несинхронных вращений возможны годографы в виде улитки, имеющей сходство с улиткой Паскаля.

Решается задача построения интеллектуальной системы поддержки принятия решений при обслуживании технологического оборудования нефтедобычи. На первом этапе - выбора интеллектуальной модели - показано, что в существующих условиях получение обучающей выборки в цифровом виде затруднительно. С другой стороны, есть возможность получить знания экспертов предметной области - мастеров и технологов - в виде набора лингвистических правил, на основании чего делается вывод об эффективности применения нечеткой логики для решения данной задачи. На этапе построения интеллектуальной модели предлагается применение матричного аппарата нечеткой логики, производится его развитие алгоритмом нечеткого логического вывода на основании векторных нечетких предикатов, демонстрируются его возможности и преимущества. В частности, показывается, что матричное представление позволяет свести вычисления к решению системы линейных уравнений, в явном виде определить область значений анализируемых параметров, при которых база знаний не позволяет сделать нечеткие заключения. Для анализа ретроспективной информации по изменению значений параметров технологического оборудования с течением времени предлагается модель нечеткого логического автомата в виде нечеткой комбинационной схемы, анализирующей внешний блок памяти. Показывается, в каких случаях можно осуществить переход от автомата к комбинационной схеме, каким образом это можно сделать. Основным преимуществом этого подхода является отсутствие необходимости использования трудноформализуемого понятия нечеткого состояния, что ведет к упрощению построения нечетких логических устройств с памятью. В завершение работы делаются краткие выводы о применении предлагаемых методов и алгоритмов для построения системы поддержки принятия решений, ее тестировании, внедрении и эффективности.

В вопросах управления в социальных и экономических системах медицинская проблематика приобретает все большую значимость, а процессы диагностики заболеваний становятся наиважнейшей задачей самых различных учреждений здравоохранения. Неверная диагностика заболеваний приводит не только к тому, что лечение больного становится неэффективным, а иногда даже и вредоносным, но и ведет к значительному увеличению затрат, связанных с дорогостоящими процедурами проведения дальнейших анализов и лечения больного. Именно по этой причине необходимо усовершенствовать алгоритм процедуры диагностики, включив в него два качественно новых блока, основанных на разработанных методах процедур латентного анализа, базирующихся на комитетном и дискриминантном анализе. Методы комитетного и дискриминантного анализа как вспомогательный аппарат имеют также результативность и действенность в решении задачи диагностики любых заболеваний, в том числе неврологических и сосудистых заболеваний, как особо опасных и являющихся значительно ухудшающими уровень жизни населения, приводящих к повышенной смертности, а также ухудшающих статистические результаты деятельности учреждений здравоохранения. Предложенный в статье усовершенствованный алгоритм процедуры диагностики дополняется авторами двумя этапами, которые добавляются в случае, если картина симптомов смазана и предварительный диагноз не представлен либо когда под имеющуюся симптоматику подходит несколько диагнозов. Возникает это, как правило, из-за противоречивых излишних сведений, которые соответствуют самым разным заболеваниям. В этом случае используется метод дифференциальной диагностики, заключающийся в повторном опросе, осмотре пациента, изучении его истории болезни, назначении дополнительных клинических, функциональных и лабораторных анализов, которые в некоторых случаях являются избыточными и даже вредоносными для больного, а также увеличивают общую стоимость лечения болезни и, как правило, издержки учреждения здравоохранения в целом. Разрешить подобную ситуацию можно, используя методы дискриминантного анализа, которые позволят выяснить нужный диагноз с помощью отнесения факторов к тому или иному заболеванию. Однако часто здесь возникает ситуация, связанная с противоречивостью данных, которые не позволяют решить задачу дискриминантного анализа стандартными методами. В этом случае можно использовать актуальные математические методы, такие как деревья решений, метод опорных векторов, нейронные сети, но которые являются плохо интерпретируемыми и сложны в восприятии, поэтому предложен метод комитетов, который усовершенствован авторами с целью снижения размерности задачи, способствующей сокращению количества факторов, необходимых для диагностики заболеваний. Указанный метод позволяет устранить противоречивость данных и однозначно поставить диагноз, некоторые особенности которого впоследствии можно уже выявить путем иных стандартных клинических или инструментальных методов. Таким образом, можно сделать выводы, что использование методов комитетного и дискриминантного анализа в диагностике заболеваний является не только вспомогательным, но и обязательным атрибутом с целью повышения качества оказания медицинских услуг. Более того, основным методическим положением применения указанных методов является использование поиска латентных факторов риска заболеваний, что позволяет увеличивать долю вовремя диагностированных больных. Также не стоит забывать о положении корректного сбора информации и ее обработки.

Несмотря на то, что кластерный подход достаточно распространен в научных работах, вопросы формирования, развития и оценки эффективности кластерно-сетевых взаимодействий остаются нерешенными. Исследования научного сообщества базируются преимущественно на качественных методах кластерного анализа (экспертный анализ, ретроспективный анализ, метод сопоставлений аналогов и т.д.), однако необходимость трансформации регионального развития и переход к неоэкономике требуют применения экономико-математических методов анализа, а их арсенал относительно невелик, что с необходимостью вызывает поиск новых решений. Предпринята попытка моделирования кластерно-сетевого механизма в нефтегазовой отрасли с применением нейронных сетей, так как нефтяная сфера - один из ключевых секторов российской экономики, который влияет на определяющие темпы и пути социально-экономического развития государства, подвержен наибольшему регулированию со стороны правительства страны, чем большинство других отраслей. Самой важной специфичной чертой нефтяной сферы выступает то, что она не только способна генерировать огромные денежные ресурсы, но и аккумулировать их для решения большого числа социально-экономических проблем. По результатам обученной нейронной сети на примере показателей Пермского края были сделаны прогнозные значения валового регионального продукта и как возможное ядро кластера нефтяной отрасли - прогноз прибыли компании группы ЛУКОЙЛ.