Прикладная математика и вопросы управления

В классе измеримых (в смысле Лебега) и ограниченных управляющих вектор-функций рассматривается одна негладкая задача оптимального управления системой Гурса - Дарбу с многоточечным функционалом качества, являющаяся обобщением терминального типа функционала. Применяя один модифицированный вариант метода приращений и предполагая что правая часть уравнения и функционал качества по вектору состояния имеют производные по любому направлению, доказали необходимое условие оптимальности в терминах производной по направлению, носящее довольно общий характер. Рассмотрен случай квазидифференцируемого функционала качества. В частности, изучена задача минимакса. В предположении выпуклости области управления, с учетом свойств недифференцируемых функций, установлено необходимое условие оптимальности, являющееся аналогом линеаризованного интегрального принципа максимина, имеющее конструктивный характер и обобщающее поточечный линеаризованный (дифференциальный) принцип максимума.

Излагаются математические модели механизмов умного управления, которые могут быть использованы в организационной системе управления промышленными предприятиями. Для повышения эффективности управления предложены следующие механизмы: механизм распределения ресурсов (механизм прямых приоритетов, обратные приоритеты, конкурентный механизм, механизм открытого управления), механизм активного опыта (механизм усреднения мнений экспертов, механизмы, основанные на медианных схемах), механизм внутренних цен, ценообразование и механизмы налогообложения, механизм оптимизации цепочки поставок, механизм выбора ассортимента, механизмы стимулирования (стимулы для индивидуальных результатов, коллективные результаты и механизм оплаты бригады), интегрированных механизмов.

На примере системы поддержки принятия управленческого решения в области утверждения бюджета доходов и расходов предприятия применяется метод анализа иерархий. Описывается процесс решения поставленной задачи вышеизложенным методом. Рассматриваются сильные и слабые стороны данного метода, на основе наиболее важных проблем проводятся следующие исследования: изучается зависимость согласованности матрицы и рассматривается чувствительность приоритетов от общего числа критериев. Формулируются выводы, полученные в результате проведенных исследований, приводятся рекомендации по применению метода.

Рассматривается задача управления объектом, который имеет несколько значимых для лица, принимающего решения, критериев, каждый из которых характеризует объект управления с точки зрения частного результата деятельности или показателя эффективности. Для оценивания эффективности функционирования управляемого объекта в целом используется матричный механизм комплексного оценивания, учитывающий все критерии в комплексе. Задача оптимального управления формулируется как поиск значений сворачиваемых критериев, обеспечивающих заданное значение комплексного показателя при минимальных затратах на обеспечение значений частных критериев. Благодаря полученному аналитическому уравнению линии уровня агрегированного в результате свертки двух критериев показателя, обобщенную затратную функцию удалось свести к уравнению с одной переменной. Уравнение линии найдено для произвольной бинарной матрицы свертки, в том числе элементы которой заданы непрерывными значениями. Показано, что целевая функция сводится к полиному четвертого порядка, который может быть аналитически решен с помощью метода Феррари или Декарта - Эйлера. Показано, что задача поиска значений двух частных критериев, описывающих состояние объекта управления, при которых комплексный показатель, вычисляемый с помощью аддитивно-мультипликативного подхода к комплексному оцениванию, равен заданному значению и при этом затраты на их обеспечение минимальны, имеет решение в общем виде для произвольной неубывающей матрицы свертки двух критериев. Найдены частные решения задачи управления при использовании затратных функций, являющихся обратным случаем производственной функции Кобба - Дугласа. При этом показано, что затратная функция агрегированного показателя имеет дополнительные слагаемые и описывается уже алгебраическим уравнением с ненулевыми коэффициентами при переменных и дополнительной константой. На основании чего был сделан вывод, что затратные функции, являющиеся обратным случаем производственной функции Кобба - Дугласа, могут применяться к объектам управления, имеющим только два критерия. Рассмотрена аналогичная постановка задачи управления для произвольной неубывающей матрицы свертки двух критериев при использовании аддитивно-мультипликативного подхода к комплексному оцениванию и при использовании затратных функций, описываемых алгебраическим уравнением второго порядка в общем виде. В результате исследования показано, что вид затратной функции для агрегированного показателя сохраняется. Таким образом, при использовании затратных функций в виде уравнений второго порядка задача управления имеет решение в общем виде для любого числа критериев.

Дается обзор теоретических и прикладных результатов, полученных в рамках научного направления по эконофизике на кафедре информационных систем и математических методов в экономике. В первой части дается понятие финансового пузыря и методы его поиска. В начале статьи описывается развитие эконофизики. Ввиду этого эконофизика, используя как образец исследования физиков, должна начинать свои исследования не с верхних этажей экономического здания (в виде финансовых рынков, распределения доходности финансовых активов и т.п.), а с ее фундаментальных оснований или, говоря словами физиков, с элементарных экономических объектов и форм их движения (труда, его производительности и т.д). Только таким образом эконофизика может обрести свой предмет исследования и стать «новой формой экономической теории». Дальше рассмотрены основные предпосылки моделей финансовых пузырей на рынке: принцип отсутствия арбитражных возможностей, существование рациональных агентов, модели, управляемой риском, и модели, управляемой ценой. Была предложена известная нелинейная LPPL-модель (Log Periodic power Law Model). В работах В.О. Арбузова было предложено использовать процедуры выбора моделей, а именно были введены: основная селекция, фильтрация «стационарности», спектральный анализ. Результаты модели были представлены в работах Д. Сорнетт и его учеников. Во второй части дается понятие перколяции и ее возможности применения в экономике. Будет рассмотрена математическая модель, предложенная J.P. Bouchaud, D. Stauffer и D. Sornette, воссоздающая поведение агента на рынке, и ее взаимодействие, геометрически описывающее фазовый переход второго рода. В данной модели цена актива за один временной интервал изменяется пропорционально разнице между спросом и предложением на этом рынке. Ключевой ситуацией для изучения является момент образования бесконечного кластера на перколяционной решетке, так как это означает крах рынка, когда подавляющая для данного рынка часть агентов имеет схожее мнение насчет своих действий по покупке или продаже актива. Основными характеристиками процесса являются пороговая вероятность наступления краха рынка, а также эмпирическая функция распределения изменения цены на данном рынке.